 |
Распределения Максвелла и Больцмана.
|
|
|
|
Первым распределением статистической физики было распределение частиц идеального газа. находящегося в равновесии, по скоростям. Оно было получено Максвеллом с помощью теории вероятностей и кинетических представлений. Максвелл нашел число частиц ансамбля, скорости которых лежат в интервале 
. Это число можно записать в виде
,
где функция скорости называется функцией распределения Максвелла по скоростям.
В силу независимости движений по осям координат, функцию распределения можно представить произведением функций 
, что позволит вначале рассмотреть случай одномерного движения, например, вдоль оси Х. Тогда
, где 
Максвелл доказал, что в одномерном случае
,
M – масса частицы, 
– постоянная Больцмана, T – абсолютная температура ансамбля в кельвинах. А постоянная 
определяется условием нормирования
функции распределения на число частиц N
,
предполагается, что при тепловом (хаотическом) движении вдоль оси Х скорость частицы может принимать любые значения от 
до 
.
Для определения константы нормировки удобно сначала сделать замену переменной
,
так что
,
после чего число частиц
и условие нормировки принимает вид
.
Здесь рассматривается «табличный» интеграл Френеля
,
и постоянная нормировки для одномерного движения приобретает вид
.
Теперь нормированную на число частиц функцию распределения Максвелла по скоростям в случае одномерного движения можно записать в виде
.
Позже это распределение было проверено экспериментально и получило хорошее подтверждение в опытах Штерна и Герлаха.
Напомним, что рассматривалось одномерное движение. Для рассмотрения трехмерного движения надо вспомнить, что в силу независимости движения по ортогональным осям координат
|
|
|
и опять провести нормировку на число частиц:
.
Здесь перемножаются три одинаковых интеграла типа
,
так что новая постоянная нормировки
.
Значит, в случае трехмерного движения функция распределения Максвелла имеет вид
.
Уместно замечание о том, что в настоящее время чаще используют распределение не по скоростям, а по импульсам (тогда это распределение можно использовать в релятивистских задачах):
.
Эта функции распределения относится к случаю прямоугольной Декартовой системы координат. Однако часто удобнее использовать сферическую систему координат, считая, что
,
при этом по телесному углу 
можно проинтегрировать, что дает множитель 
, и тогда 
можно заменить множителем 
. Функция распределения в этом случае зависит от модуля скорости, изменяющемся в интервале 
. Такая функция называется функцией распределения Максвелла по модулям скоростей и имеет вид
.
Функцию распределения по модулям скоростей можно изобразить графиком (см. рис. 9).
На рисунке 9 приближенное изображение функции распределения Максвелла для некоторой температуры T. Точка А – точка касания горизонтальной прямой – максимум функции 
. Этой точке соответствует наиболее вероятная скорость. Площадь под кривой определяет условие нормировки (1 или N). При повышении температуры максимум сдвигается вправо, становясь ниже, так что нормировка и площадь под кривой сохраняются.
При изучении распределения Максвелла по скоростям Больцман заметил, что в показателе экспоненты стоит отношение кинетической энергии к энергии 
. Это послужило основанием для обобщения распределения на случай, когда частица имеет потенциальную энергию. Такое распределение часто называют распределением Больцмана. В этом случае функция распределения может быть записана в виде
,
где нормировка проводится по всем координатам, либо по указанной координатной области.
|
|
|
Например, если рассматривается изотермическая атмосфера, находящаяся в равновесии,
и потенциальная энергия частиц ансамбля равна
,
где Z – высота над уровнем моря, то тогда
.
Нормировка может проводиться на плотность частиц в единице объема (на концентрацию частиц 
) или на давление P(Z). Тогда говорят о барометрических распределениях, имеющих вид
,
.
Величины, имеющие индексы «0» – отмечают значения на уровне моря.
Аналогичным образом можно записать распределение гармонических осцилляторов по энергиям. Если считать, что энергия осциллятора равна
,
то соответствующая функция распределения имеет вид
.
Дальнейшим обобщением функций распределения в классической статистической физике является распределение Максвелла – Больцмана, которое учитывает и пространственные, и скоростные переменные:
.
распределения зависит как от скорости, так и от координаты частицы (поскольку потенциальная энергия есть функция координат). Соответственно определяющие нормировку и используемые для вычисления интегралы учитывают как интегрирование по скоростям, так и по координатам (по всему фазовому пространству).
Мы отмечали, что рассматривались равновесные ансамбли. Для теории технологических процессов, когда имеются интенсивные внешние воздействия на ансамбли, важны неравновесные функции распределения. Их приходится получать в отдельности для каждой физической (да и не только физической – химической, биологической, экономической и т.д.) системы. Это сложные современные задачи, имеющие большое экономическое значение.
Кроме неравновесных функций распределения изучаются квантовые функции распределения. Наиболее известные квантовые распределения – это функции распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. С их помощью строятся современные теории электропроводности, лазерной физики и многих других теорий.
|
|
|
