 |
Построение регрессионной модели по отклонениям от трендов
|
|
|
|
Исходные данные (таблица 36) для построения модели по отклонениям и ее параметры (таблица 37) представлены на листе «Модель по отклонениям».
Таблица 36 – Отклонения факторов
| Месяц | Остатки модели X*(t *) | Остатки модели Y(t) | Месяц | Остатки модели X*(t *) | Остатки модели Y(t) |
| – | – | – | 0,20 | –0,17 | |
| –0,04 | 0,18 | 0,06 | –0,02 | ||
| –0,16 | –0,13 | –0,06 | –0,04 | ||
| 0,01 | 0,001 | 0,12 | –0,07 | ||
| –0,23 | –0,16 | 0,06 | 0,13 | ||
| –0,13 | –0,34 | 0,03 | 0,28 | ||
| –0,09 | –0,18 | 0,38 | 0,41 | ||
| –0,04 | –0,10 | –0,52 | –0,11 | ||
| 0,27 | 0,01 | –0,19 | –0,26 | ||
| 0,21 | 0,22 | –0,13 | –0,17 | ||
| 0,23 | 0,34 | 0,002 | –0,04 |
Параметры модели ΔY = f(ΔХ*) представлены в таблице 37.
Таблица 37 – Результаты расчета параметров модели ΔY = f(ΔХ*)
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | –0,01 | 0,04 | –0,27 | 0,79 |
| Переменная ΔХ* | 0,61 | 0,18 | 3,41 | 0,002 |
Проверка статистической значимости коэффициентов модели
(см. тему 1) показывает, что модель требует уточнения.
Параметры уточненной модели ΔY = f(ΔХ*) представлены в таблице 38.
Таблица 38 – Результаты расчета параметров уточненной модели ΔY = f(ΔХ*)
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Переменная ΔХ* | 0,61 | 0,17 | 3,51 | 0,002 |
| Y-пересечение | #Н/Д | #Н/Д | #Н/Д |
В модели ΔY = 0,61ΔХ* автокорреляция отсутствует (таблица 39).
Таблица 39 – Анализ модели по отклонениям на наличие автокорреляции
остатков
| Коэффициент корреляции остатков | 0,20 |
| tнабл | 0,9 |
| tкр | 2,09 |
Прогнозирование
Из уравнения модели Х = 0,19 t + 8,61 для Х = 15 находится значение t = 33,53.
Используя авторегрессионое преобразование первого порядка AR(1) 
при r = 0,746, ti = 33,53, ti –1 = 32,53 находится t * = 9,25. По модели X* = 0,19 t * + 2,18 вычисляется Х* модельное, равное 3,98. Для нахождения Х*набл используется авторегрессионное преобразование первого порядка AR(1) 
= 15 – 0,75*14,81 = 3,94, где 
рассчитывается по модели Х = 0,19 t + 8,61 при t– 1 = 32,53, 
= 15 (из условия). Отклонение по фактору Х определяется как разность между наблюдаемым и модельным значениями
|
|
|
ΔХ* = Х*набл – Х*модельное = – 0,03.
Используя модель ΔY = 0,61ΔХ*, находится ΔY = 0,61*(– 0,03) =
= – 0,02. По модели Y = 5,22 + 0,07 t при t = 33,5 находится прогнозируемое значение Y = 7,62. С учетом исключения трендов прогнозируемое значение Y = 7,62 – 0,02 = 7,6.
Все вычисления занесены в таблицу 40.
Таблица 40 – Вычисление прогнозного значения
| t находится по модели X(t) при Х = 15 | 33,53 |
| t * находится из AR(1) | 9,25 |
| Х*модельное находится по модели Х*(t *) | 3,98 |
| Х при t –1 по модели Х(t) | 14,81 |
| Х из условия | |
| Х* набл, используя AR(1) | 3,94 |
| Отклонение Δ x * | –0,03 |
| Остаток по модели по отклонениям | –0,02 |
| Y, прогнозируемый по модели Y(t) | 7,62 |
| Y, прогнозируемый с учетом исключения трендов | 7,60 |
Вопросы для самоконтроля
1. Что понимают под ложной корреляцией?
2. Какова суть метода отклонений от тренда?
3. В каком случае используется ОМНК?
4. Каковы основные этапы ОМНК?
5. Как осуществляется прогнозирование?
Индивидуальное задание
Выполните следующее:
· постройте модель зависимости фактора Y от фактора X, предполагая, что на причинно-следственную связь между ними влияет ложная корреляция, используя данные наблюдений, представленные в таблице 28, которые необходимо изменить следующим образом: к каждому значению фактора Х надо прибавить 0,3 × к, где к – номер студента в журнале группы;
· сделайте прогноз значения Y для X = 17.
VI. СИСТЕМЫ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ УРАВНЕНИЙ
Постановка задачи
Имеются данные годового потребления свинины на единицу населения, представленные в таблице 41.
|
|
|
Таблица 41 – Данные наблюдений
| Год | Годовое потребление свинины на единицу населения, кг (у 1) | Оптовая цена за 1 кг, усл. ед. (у 2) | Доход на душу населения, усл. ед. (х 1) | Отношение расходов по обработке мяса к цене, % (х 2) |
| 5,0 | 1 300 | |||
| 4,0 | 1 400 | |||
| 4,2 | 1 500 | |||
| 5,0 | 1 600 | |||
| 3,8 | 1 800 | |||
| 4,3 | 1 700 |
Постройте линейную структурную модель вида (1):
(1)
Для решения этой задачи необходимо следующее:
1. По виду модели (1) определите количество эндогенных, экзогенных переменных в каждом уравнении системы и сделайте вывод о ее идентифицируемости.
2. Используя косвенный МНК, оцените по выборочным данным, представленным в таблице 41, коэффициенты приведенной формы модели (2):
(2)
2.1. Методом МНК найдите уравнения регрессий системы (2), используя тему 2.
2.2. По найденным приведенным коэффициентам рассчитайте структурные коэффициенты (3):
(3)
Запишите структурные уравнения модели (1).
Технология вычислений в MS Excel для модели системы
одновременных уравнений
1. Подсчитайте число эндогенных переменных в каждом уравнении системы:
· в первом уравнении две (H 1 = 2) эндогенные переменные: у 1, у 2;
· во втором уравнении тоже две (H 2 = 2) эндогенные переменные: у 1, у 2.
Подсчитайте отсутствующие экзогенные переменные в системе:
· в первом уравнении одна (D 1 = 1) переменная х 1;
· во втором уравнении тоже одна (D 2 = 1) переменная х 2.
Проверьте условие идентифицируемости для каждого уравнения системы:
· для первого уравнения D 1 + 1 = H 1, т. е. 1 + 1 = 2, значит, условие выполняется;
· для второго уравнения D 2 + 1 = H 2 , т. е. 1 + 1 = 2, значит, условие выполняется.
Следовательно, оба уравнения точно идентифицируемы. Поэтому система точно идентифицируема.
2. Постройте уравнения приведенной формы (2), воспользовавшись множественной регрессией (см. тему 2) для переменных, выраженных в отклонениях от среднего уровня (т. е. вместо x используйте разность x – x ср, вместо y – разность y – y ср) (рисунок 37).
Рисунок 37 – Отклонения исходных данных от их средних значений
Параметры уравнений приведенной формы (2) представлены на рисунке 38.
а б
Рисунок 38 – Итоги параметризации уравнений приведенной формы:
(а); 
(б)
|
|
|
Составьте матрицу системы приведенных уравнений из коэффициентов при переменных x 1, x 2 копированием соответствующих чисел (рисунок 39).
Рисунок 39 – Матрица системы
Найдите структурные коэффициенты, используя формулы, приведенные на рисунке 40.
Рисунок 40 – Формулы расчета структурных коэффициентов
по приведенным коэффициентам
3. Запишите уравнения системы в структурной форме.
4. Рассчитайте свободные члены для уравнений с исходными переменными по формулам, приведенным на рисунке 41.
Рисунок 41 – Формулы расчета свободных членов уравнений
5. Запишите структурную модель.
Эконометрический анализ построения модели системы
одновременных уравнений
Для описания сложных экономических процессов недостаточно отдельных уравнений регрессий, так как изменение одной из переменных влечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных переменных. Поэтому возникает задача описания структуры связей между переменными несколькими уравнениями или системой структурных уравнений. При этом в одних уравнениях определенная переменная может рассматриваться как объясняющая, а в других – как зависимая (объясняемая) переменная. При рассмотрении систем эконометрических уравнений различают эндогенные (зависимые) и экзогенные (независимые) переменные.
В эконометрике рассматривается несколько видов систем уравнений:
· Система независимых уравнений, в каждом из которых эндогенная переменная уi (i = 1,…, n), зависит от одного и того же набора экзогенных переменных xj (j = 1,…, m), и случайной переменной. Для нахождения параметров каждого из уравнений такой системы используется МНК.
· Система рекурсивных уравнений, в каждом из которых эндогенная переменная уi (i = 1,…, n) зависит от эндогенных переменных всех предшествующих уравнений, собственных экзогенных переменных и случайной переменной. Для нахождения параметров каждого из уравнений такой системы используется МНК.
· Система взаимосвязанных уравнений (структурная фор- ма модели), в которых одни и те же эндогенные переменные одновременно могут быть зависимыми в одних уравнениях и независимыми в других. Уравнения, составляющие модель, называются структурными уравнениями модели. Каждое из них не может рассматриваться самостоятельно, так как традицион- ный МНК дает смещенные и несостоятельные оценки структурных коэффициентов уравнений. Поэтому для нахождения структурных коэффициентов структурная форма модели преобразуется в приведенную форму, каждое из уравнений которой представляет собой зависимость эндогенной переменной уi (i = 1,…, n) от экзогенной переменной xj (j = 1,…, m):
Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели и наоборот.
Приведенная форма модели позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, т. е. удобна при прогнозировании. Структурная форма модели позволяет оценить взаимосвязи между эндогенными переменными.
При переходе от приведенной формы модели к структурной возникает проблема идентификации – единственности соответствия между моделями.
Структурная модель называется идентифицированной, если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурных уравнений. Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо, т. е. число параметров уравнения равно числу параметров его приведенной формы.
Структурная модель называется неидентифицируемой, если по коэффициентам приведенных уравнений можно получить несколько вариантов значений коэффициентов структурных уравнений, т. е. число приведенных коэффициентов хотя бы одного уравнения меньше числа его структурных коэффициентов.
Структурная модель называется сверхидентифицируемой, если по коэффициентам приведенных уравнений невозможно определить значения коэффициентов структурных уравнений, т. е. число приведенных коэффициентов хотя бы одного уравнения больше числа его структурных коэффициентов.
Необходимое условие идентифицируемости модели: для того чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного. Это условие можно записать в виде следующего счетного правила:
D + 1 = H – уравнение идентифицируемо;
D + 1 < H – уравнение неидентифицируемо;
D + 1 > H – уравнение сверхидентифицируемо,
где H – число эндогенных переменных в уравнении;
D – число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентифицируемости модели: определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
Для параметризации идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для сверхидентифицированного – двухшаговый метод наименьших квадратов. Эти методы дают состоятельные оценки параметров.
Косвенный МНК для идентифицируемой модели состоит в следующем:
· составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК по исходным данным;
· путем алгебраических преобразований полученной системы уравнений переходят к уравнениям в структурной форме модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
Двухшаговый МНК для сверхидентифицируемой модели заключается в следующем:
· составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК по исходным данным;
· для сверхидентифицируемого уравнения получают теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения, по соответствующим уравнениям приведенной формы; далее, подставив их вместо фактических значений, обычным МНК определяют параметры структурного уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
Напомним, что условия идентифицируемости выполняются для каждого уравнения системы:
· для первого уравнения D 1 + 1 = H 1, т. е. 1 + 1 = 2;
· для второго уравнения D 2 + 1 = H 2 , т. е. 1 + 1 = 2.
Поэтому система точно идентифицируема.
Для построения системы уравнений найдем отклонения от средних, которые будем использовать в качестве новых переменных (названия сохраняются) (рисунок 42).
Рисунок 42 – Значения отклонений от средних
По результатам параметризации (см. рисунок 37) имеем следующие уравнения приведенной формы:
По матрице коэффициентов системы приведенных уравнений из коэффициентов при переменных x 1, x 2 найдены структурные коэффициенты (рисунок 43).
Рисунок 43 – Параметры приведенной и структурной моделей
Следовательно, уравнения структурной модели по отклонениям от средних значений имеют следующий вид:
Перейдем от переменных в виде отклонений от среднего уровня
к исходным переменным y и x. Свободные члены уравнений определим по следующим формулам:
Таким образом, структурная модель имеет следующий вид:
Оценка значимости модели дается через F -критерий и коэффициент детерминации для каждого уравнения в отдельности.
Вопросы для самоконтроля
1. Каковы основные причины использования систем одновременных уравнений?
2. В чем заключается основное различие между структурной и приведенной формами?
3. Почему МНК не применим для оценки структурных коэффициентов модели?
4. Для оценки каких систем возможно применение МНК?
5. Что понимают под экзогенными и эндогенными переменными?
6. Что собой представляет сверхидентифицируемая система?
7. Как сформулировать необходимое условие идентификации?
8. Как сформулировать достаточное условие идентификации?
9. В чем заключается суть двухшагового метода наименьших квадратов?
10. Каковы этапы косвенного метода наименьших квадратов?
11. Существует ли единый критерий для оценки общего качества всей системы одновременных уравнений в целом?
12. Какой вид имеет модель «спрос – предложение»?
13. Какой метод оценок параметров целесообразен для точно идентифицируемого уравнения?
14. Какова система рекурсивных уравнений?
Индивидуальное задание
Имеются данные годового потребления свинины на единицу населения, представленные в таблице 42.
Таблица 42 – Данные к индивидуальным заданиям (к – номер студента
в журнале)
| Год | Годовое потребление свинины на единицу населения, кг (у 1) | Оптовая цена за 1 кг, усл. ед. (у 2) | Доход на душу населения, усл. ед. (х 1) | Отношение расходов по обработке мяса к цене, % (х 2) |
| 60 + к | 5,0 + 0,1 к | 1 300 + 100 к | 60 + к | |
| 62 + к | 4,0 + 0,1 к | 1 400 + 100 к | 56 + к | |
| 65 + к | 4,2 + 0,1 к | 1 500 + 100 к | 57 + к | |
| 63 + к | 5,0 + 0,1 к | 1 600 + 100 к | 63 + к | |
| 66 + к | 3,8 + 0,1 к | 1 800 + 100 к | 50 + к | |
| 67 + к | 4,3 + 0,1 к | 1 700 + 100 к | 58 + к |
Постройте линейную структурную модель следующего вида:
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аистов, А. В. Эконометрика шаг за шагом: учеб. пособие для
вузов / А. В. Аистов, А. Г. Максимов. – М.: ГУ ВШЭ, 2006. – 177 с.
2. Айвазян, С. А. Прикладная статистика и основы эконометрики: учеб. для вузов / С. А. Айвазян, В. С. Мхитрян. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.
3. Айвазян, С. А. Прикладная статистика. Исследование зависимостей / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. – М.: Финансы
и статистика, 1985. – 488 с.
4. Айвазян, С. А. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. – М.: Финансы и статистика, 1983. – 471 с.
5. Алексеенко, В. Б. Математические методы исследования экономических систем: учеб. пособие для вузов / В. Б. Алексеенко, В. В. Красавина. – М.: РУДН, 2005. – 154 с.
6. Бородич, С. А. Эконометрика: учеб. пособие для вузов / С. А. Бородич. – Минск: Новое знание, 2001. – 408 с.
7. Грубер, Й. Эконометрия: учеб. пособие. В 2 т. Т. 2: Эконометрические прогнозные и оптимизационные модели / Й. Грубер. – Киев: Нiчлава, 1999. – 308 с.
8. Доугерти, К. Введение в эконометрику: учеб. пособие для вузов: [пер. с англ.] / К. Доугерти; под ред. О. О. Замкова. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 402 с.
9. Елисеева, И. И. Эконометрика: учеб. / И. И. Елисеева. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.
10. Карминский, А. М. Рейтинги в экономике: методология и практика: учеб. пособие / А. М. Карминский. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 240 с.
11. Красс, М. С. Математические методы и модели для магистрантов и экономистов: учеб. пособие для вузов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2006. – 496 с.
12. Калмыкова, Т. Ф. Анализ взаимосвязи экономических показателей: учеб.-метод. пособие / Т. Ф. Калмыкова, Т. М. Моисеева. – Гомель: Бел. торгово-экон. ун-т потребит. кооп., 2006. – 52 с.
13. Магнус, Я. Р. Эконометрика. Начальный курс: учеб. пособие / Я. Р. Магнус. – М.: Дело, 1997. – 248 с.
14. Маленво, Э. Статистические методы эконометрии / Э. Маленво. – М.: Статистика, 1976. – 329 с.
15. Мардас, А. Н. Эконометрика: учеб. пособие для вузов / А. Н. Мар-дас. – СПб.: Питер, 2001. – 144 с.
16. Марченко, Л. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: практ. пособие / Л. Н. Марченко, Л. П. Авдашкова. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2007. – 275 с.
17. Нименья, И. Н. Эконометрика: учеб. пособие / И. Н. Нименья. – СПб.: Нева, 2004. – 224 с.
18. Новак, Э. Введение в методы эконометрики: сб. задач / Э. Новак; пер. с пол. под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 248 с.
19. Переяслова, И. Г. Статистика: учеб. пособие для вузов / И. Г. Переяслова, Е. Б. Колбачев, О. Г. Переяслова. – Ростов н/Д: Феникс, 2003. – 288 с.
20. Переяслова, И. Г. Основы статистики: учеб пособие для вузов / И. Г. Переяслова, Е. Б. Колбачев. – Ростов н/Д: Феникс, 1999. – 320 с.
21. Шелобаев, С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: учеб. пособие для вузов / С. И. Шелобаев. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 367 с.
22. Экономико-математические методы и прикладные модели: учеб. пособие для вузов / В. В. Федосеева [и др.]; под ред. В. В. Федосеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 304 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
|
|
|
