Понятие оптимальности стратегии

Теория игр как математическая дисциплина в ее современном состоянии занимается нормативным изучением игр, т.е. считает своей задачей установить какое поведение игроков следует считать оптимальным (разумным, целесообразным).

Оптимальность стратегии очевидно можно понимать по-разному, т.е. понятия оптимальности в теории игр и оптимального решения игры не являются однозначными, априорными, абсолютными. Вместе с тем эти понятия являются объективными, т.е. каждый вариант оптимальности поддается точному описанию при помощи математических формулировок. Тем самым различные содержательные представления об оптимальности могут приводить к отличающимся математическим моделям.

Основными содержательными чертами оптимальности в применении к исходу или к множеству исходов конфликта можно считать интуитивные представления о выгодности и справедливости.

Можно, например, оптимальной ситуацией считать такую, в которой одновременно достигают своих максимумов функции выигрыша каждого из игроков. Условие оптимальности в этом смысле для ситуации для игры (1) формально можно записать как

для любых (2)

Выгодность такой ситуации очевидна.

Нетрудно видеть, однако, что существование в бескоалиционной игре ситуаций, оптимальных в только что описанном смысле, является сравнительно редким исключением (как и любое совпадение максимумов нескольких функций). В сущности, реализуемость этого принципа оптимальности соответствует слабости конфликтных черт моделируемого явления, близости целей его участников.

Поэтому естественно поискать другие представления об оптимальности, быть может, не столь бесспорные, но зато более часто реализуемые.

Одной из наиболее плодотворных форм реализации представлений об оптимальности можно считать понятие равновесия, состоящее в следующем.

Определение Ситуация называется равновесной, если ни один из игроков не заинтересован в том, чтобы ее нарушить, т.е. отклониться от нее.

Если игра является антагонистической, то равновесная ситуация имеет вид и формально для равновесной ситуации можно записать

(3)

при любых Уже из того, что в (3) используется не строгое неравенство «меньше или равно » следует, что равновесных ситуаций может быть несколько.

Определение В случае антагонистической игры ситуация равновесия называется седловой точкой. Оказывается, что функция выигрыша игры во всех ее седловых точках принимает одно и то же значение, которое называется ценой игры (или значением игры).

Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между игроками. Всякая попытка зафиксировать в договоре неравновесную ситуацию будет означать, что хотя бы у одной из договаривающихся сторон найдется такая стратегия, что выбор ее вместо предусмотренной договором увеличит выигрыш этого игрока. Тем самым возникают мотивы к нарушению договора.

Обычно именно равновесные стратегии считают оптимальными и называют их решением игры.

Принцип оптимальности в бескоалиционной игре, состоящий в осуществлении игроками ее ситуаций равновесия, является более слабым и чаще реализуемым, чем принцип выражаемый соотношением (2). Однако равновесные ситуации определяемые соотношением (2) так же существуют не для всякой игры.

Оказывается из этой ситуации также можно попытаться найти выход. При отсутствии в игре ситуаций равновесия, при использовании игроками единственной стратегии (из имеющихся у каждого из них множества), естественно поставить вопрос о расширении понятия стратегии таким образом, чтобы среди ситуаций, составленных из новых, обобщенных стратегий все же могли бы найтись равновесные.

Определение Элементы множества и называют чистыми стратегиями игроков.

Определение Вектор каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии, называется смешанной стратегией данного игрока.

Из сформулированного определения непосредственно следует, что сумма компонент указанного вектора равна единице, а сами компоненты не отрицательны. Очевидно так же, что чистую стратегию можно рассматривать как частный случай смешанной.

Удобной интерпретацией смешанной стратегии является ее представление как случайного выбора игроком своих чистых стратегий в соответствии с вероятностями задаваемыми относительными частотами (вспомним «классическое определение вероятности события»). Причем выборы игроков независимы, а выигрыш в ситуации в смешанных стратегиях определяется как математическое ожидание случайного выигрыша.