 |
Относительная погрешность приближенного значения точного числа
|
|
|
|
Точность измерения характеризуется с помощью относительной погрешности.
Относительной погрешностью 
приближенного значения х называется отношение абсолютной погрешности этого значения к модулю точного значения а:
Если точное значение а неизвестно, то используют предельную относительную погрешность — такое положительное число δ, что 
.
Для вычисления относительных погрешностей часто используются приближенные формулы 
Эти формулы тем точнее, чем ближе значение х к точному значению а, т. е. чем меньше погрешность 
или Δ.
Пример. Каковы предельные абсолютная и относительная погрешности числа 1.41 — приближенного значения числа 
? Так как 1,410 < < 1,415, то
Следовательно, можно положить Δ = 0.005. Далее, 
, откуда δ = 0.0036 или δ = 0.36%.
Говорят, что приближенное значение х (записанное в виде десятичной дроби) имеет n верных знаков, если абсолютная погрешность этого числа меньше или равна половине единицы его n -го разряда.
Например, если 9.263 имеет три верных знака (9, 2 и 6), то абсолютная погрешность этого числа
.
Элементарными функциями называются функции одного аргумента, значения которых получаются с помощью конечного числа вычислительных операций над аргументом, зависимой переменной и постоянными числами. Разложение элементарных функций в степенные ряды
Разложение 
.
Лемма. Если для любого отрезка 
при любом 
, то 
.
Доказательство. Для произвольного 
выберем 
так, чтобы 
. Применим к 
формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: 
, где 
. По условию, 
и 
. По признаку Даламбера ряд с членами 
сходится ( 
). Поэтому его общий член 
стремится к 0, значит и 
при 
. Ввиду произвольности получаем, что 
.
|
|
|
Для получения разложения 
заметим, что 
, и для любого отрезка 
. Поэтому лемма применима с 
, и мы получаем: 
.
Для нахождения разложения 
и 
учтем, что 
и в лемме можно положить 
. Поэтому 
Разложения для позволяет нам вывести очень важные для дальнейшего формулы Эйлера. Сначала дадим необходимые определения.
Если члены ряда 
- комплексные числа ( 
), то сходимость ряда 
означает, что одновременно сходятся ряды 
и 
. Абсолютная сходимость ряда , по определению, есть сходимость ряда 
, т.е. ряда 
.
Очевидные неравенства 
показывают, что абсолютная сходимость ряда равносильна одновременной абсолютной сходимости рядов , и абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами обладают всеми свойствами абсолютно сходящихся рядов с действительными членами.
Подставим в разложение для вместо 
величину 
. Тогда (пока формально) получим: 
. Группируя действительные и мнимые слагаемые, получаем: 
.
Для обоснования законности наших действий заметим, что ряд 
, как доказано выше, абсолютно сходится, поэтому в нем можно переставить слагаемые (в частности так, как это сделано выше), и сумма его сохранится. Упомянем, что и для 
.
Если в разложение для подставить вместо число 
, то получим: 
. Поэтому из двух полученных формул следует, что 
. Кроме того, для любого комплексного числа 
.
Разложение 
.
Используем равенство: 
. Разложим 
в ряд как прогрессию при 
. 
. Тогда, интегрируя это разложение, получим: 
. Это равенство справедливо при . Кроме того, т.к. ряд 
сходится по теореме Лейбница, равенство сохранится и при 
.
Разложение 
.
Используем равенство: 
. Далее, как и выше, при 
. Поэтому, при 
. Кроме того, ряд 
сходится. Значит, написанное выше разложение имеет место и при 
.
Разложение 
.
Если обозначить 
, то 
. Поэтому 
. Это разложение верно для всех 
, где 
- радиус сходимости. Для нахождения используем формулу 
. Кроме того, без доказательства, отметим, что при 
разложение справедливо и при 
, а при 
- для .
|
|
|
В заключение приведем несколько полезных следствий из разложения .
Следствие 1. Легко видеть, 
. Поэтому 
при . Полагая 
, получаем, что 
и 
. Этим разложением можно воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы Стирлинга.
Следствие 2. Формула Стирлинга.
Приведем эту формулу без доказательства. 
9. Приближенное решение алгебраических уравнений
80. Интерполяция
Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называетсяаппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.
|
|
|
Определения
Рассмотрим систему несовпадающих точек 
(
) из некоторой области 
. Пусть значения функции 
известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции 
из заданного класса функций, что
§ Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
§ Пары 
называют точками данных или базовыми точками.
§ Разность между «соседними» значениями 
— шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
§ Функцию 
— интерполирующей функцией или интерполянтом.
Пример
1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений 
определяет соответствующие значения :
|
| 
|
| 0,8415 | |
| 0,9093 | |
| 0,1411 | |
| −0,7568 | |
| −0,9589 | |
| −0,2794 |
Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных (например, при x = 2,5).
К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.
2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).
| 15.5 | |
| ? | |
| 19.2 |
|
|
|
