Биматричная игра: сущность, привести экономический пример.

Биматричная игра - конечная бескоалиционная игра двух лиц. Биматричная игра задается двумя матрицами одинакового размера , являющимися матрицами выигрышей соответственно игроков I и II. Стратегией игрока I является выбор строки матриц, стратегией игрока II - выбор столбца. Если игрок I выбирает , а игрок II выбирает , то они получают соответственно выигрыши и , Если для всех то биматричная игра является матричной игрой.

Пример: «Борьба за рынки». Небольшая фирма (игрок А) намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, контролируемое другой, более крупной фирмой (игрок В) Для этого фирма А готова предпринять но одном из рынков соответствующие приготовления (например, развернуть рекламную компанию). Господствующая на рынках фирма В может пытаться воспрепятствовать этому, приняв на одном из рынков предупредительные меры (разумеется, в рамках закона). Не встречая противодей­ствия на рынке, фирма А захватывает его; при наличии препятствий — терпит поражение.

Будем считать для определенности, что проникновение фирмы А на первый рынок более выгодно для нее, нежели проникновение на второй. Естественно также считать, что и борьба за первый рынок потребует вложения больших средств. Например, победа фирмы А на первом рынке принесет ей вдвое больший выигрыш, чем победа на втором, но зато и поражение при попытке освоиться на первом рынке полностью ее разорит, а фирму В избавит от конкурента.

Что же касается второго рынка, то при поражении фирмы А ее потери будут не столь разорительны, но и победа принесет немного.

Таким образом, у фирмы А два стратегии:

А ₁ — выбор первого рынка, А ₂ — выбор второго рынка.

Такие же стратегии и у фирмы В:

В ₁ — выбор первого рынка, В ₂ — выбор второго рынка.

Для того, чтобы составить платежные матрицы игроков, нужны расчетные количественные показа­тели, которые мы приведем здесь в условных единицах:

,

Взглянем на выписанные матрицы выплат. Из сказанного выше ясно, что если оба игрока выберут один и тот же рынок, то победа останется за более сильной фирмой В.

То, что в ситуации (А ₁, В ₁) выигрыш игрока В равен 5, а в ситуации (А ₂, В ₂) — 1, подчерки­вает, что первый рынок более выгоден (удобно расположен, хорошо посещаем и т.п.), чем второй. Выигрыш (-10) игрока А в ситуации (А ₁, В ₁) (а точнее, проигрыш) в сопоставлении с его выигры­шем (-1) в ситуации (А ₂, В ₂) выглядит, разумеется, вполне сокрушительно. Что же касается ситуации, когда фирмы уделяют основное внимание разным рынкам (А ₁, В ₂) и (А ₂, В ₁), то здесь фирму А ждет настоящий выигрыш, больший на более выгодном рынке. Потери, которые при этом несет фирма В, оказываются прямо противоположными.

53. Критерий существования седловых точек действительной функции двух векторных аргументов

Для того, чтобы f(x,y) имела седловую точку(оптимальное решение игры) на декартовом произведении X*Y, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны , где – это точная нижняя граница множества значений функции (т.е. наибольшая из бесконечного множества нижних границ множества значений функции ), а – это точная верхняя граница множества значений функции (т.е. наименьшая из бесконечного множества верхних границ множества значений функции ).

Теорема о сведении решения пары взаимно двойственных задач линейного программирования к решению симметричной матричной игры.

Рассмотрим пару двойственных друг другу задач линейного программирования:

1) найти min при ограничениях , i=1,…,m, , j=1,…,n

2) найти max при ограничениях , j=1,…,n, , i=1,…,m

теорема: если и - опт. стратегии, соотв-но, игроко А и В, а V-цена игры, то

- опт. решение задачи 1,

- опт. решение задачи 2.