Погрешность оценок показателей надежности

Диапазон неопределенности оценок показателей надежности может быть установлен для каждого объекта (элемента, реже сис­темы), по литературным данным, в виде максимальных и мини­мальных значений: λ_max, λ_min, τ_max, τ_min и т. д.

В некоторых источниках (см., например, [9]) приводятся до­верительные границы λ^B, λ^H, τ^B, τ^H с доверительной вероятностью α = 0,9 или α = 0,8. Однако для всех элементов таких оценок нет.

В первом приближении оценка среднеквадратической погреш­ности показателей надежности может быть сделана в предполо­жении экспоненциальности распределения времени безотказной работы и времени восстановления ЭА. В этом случае

При наличии оценок доверительных границ

При наличии только экспертных оценок границ диапазона не­определенности можно оценить максимальную и минимальную среднеквадратическую погрешность:

При известных средних значениях и среднеквадратических погрешностях исходных данных о надежности ЭА или его эле­ментов можно оценить среднеквадратическую погрешность по­казателей надежности ЭА, пользуясь формулами теории точно­сти (табл. 15.1). Так, погрешности оценок показателей надежно­сти для ЭА с последовательным соединением элементов

Из сравнения формул для расчета показателей Λ и q и формул для погрешностей σ_Λ и σ_q следует, что погрешность результата уве­личивается с ростом числа членов в формулах, но увеличивается

медленнее, чем сам результат. Следовательно, относительная по­грешность результата не превышает относительной погрешности исходных данных. При последовательном соединении элементов погрешность оценок показателей надежности системы тем мень­ше, чем больше число элементов.

Расчетные формулы для показателей Λ(k) и q (k)имеют вид [5]

(15.6)

(15.7)

где L(j, i, k) — логическая функция, принимающая значения 0 или 1.

Выражения для среднеквадратической погрешности при отсут­ствии корреляции между величинами при максимуме по­грешности могут быть получены по формуле полного дифферен-

где черта над частной производной означает, что она вычисляется в точке математического ожидания величин

Из выражений (15.8), (15.9) следует, что относительная по­грешность убывает с ростом числа членов в выражениях (15.6), (15.7). Число членов равно числу конъюнкций, идентифицируе­мых как аварии k -го вида, и отражает вероятность ее реализации. Таким образом, частота аварий Λ(k), имеющих большую вероят­ность появления, вычисляется с меньшей относительной погреш­ностью. Аналогичный вывод можно сделать и для погрешности оценки показателя q(k).

Погрешность оценок интегральных показателей надежности ∆W и У также зависит от числа членов в формулах (15.6), (15.7) и от погрешностей оценок параметров ∆Р, ∆N и у_к. Относительная среднеквадратическая погрешность и для интегральных показа­телей не выше, чем для исходных данных, и убывает с ростом чис­ла членов в расчетных выражениях, т. е. с ростом числа рассматри­ваемых аварий. Следовательно, погрешность оценки интегральных показателей тем меньше, чем из большего числа составляющих оценка складывается.

Раскрытие неопределенности при составлении перечня всех отказов, приводящих к авариям, уменьшает, таким образом, по­грешность оценок частоты и длительности аварий. Раскрытие не­определенности при составлении перечня всех возможных аварий приводит к уменьшению погрешности оценок недоотпуска энер­гии и эксплуатационного ущерба.

Неопределенность, измеряемая среднеквадратической погреш­ностью, имеет случайный характер. Неслучайный, систематиче­ский характер имеют погрешности, вызванные неадекватностью математических моделей, ошибками в постановке задачи и в опи­сании действующих факторов и связей. Систематическая погреш­ность может превзойти случайную и тогда полученные результаты дадут неверное представление о надежности объекта. Так, напри­мер, в сложных коммутационных узлах для анализа надежности нельзя применять аналитический метод расчета, не учитывающий отказы релейной защиты и противоаварийной автоматики.

Случайная погрешность может явиться причиной неверного решения при сравнении двух ЭА по какому-либо показателю или целевой функции ф, значения которой у объектов настолько близ­ки, что возникает большая вероятность ошибки. При сравнении ЭА по средним значениям показателя ф и при условии может оказаться, что на самом деле φ₂ < φ₁.

Условная вероятность

и является вероятностью ошибочного решения.

В соответствии с предельной теоремой Ляпунова можно считать, что φ — случайная величина с нормальным законом распределе­ния, потому что ее значение вычисляется как сумма большого чис­ла составляющих. Оценив средние значения φ для ЭА: М_ф1 = т₁ и M_ф2 =т₂ и среднеквадратические отклонения σ₁ и σ₂, получим выражение для искомой вероятности

(15.10)

где F ₀(x) — нормированная и центрированная функция нормаль­ного распределения [11], F ₀(x)= 0,5 + Ф₀(х)(см. Приложение).

Максимальное рассеяние разности двух величин отвечает усло­вию σ₁ = σ₂ = σ. При этом вероятность ошибки зависим от отношения (т₂ – т₁)/σ = ∆m/σ: например, вероятность α равна0,2358; 0,0749 и 0,0029 при отношении ∆m/σ, равном соответственно1, 2 и 4.

Условие явной неразличимости объектов при сравнении по среднему:

(15.11)

При этом вероятность ошибки — более 23,5%.

Условие уверенного различения объектов при сравнении по среднему:

(15.12)

Вероятность ошибки — менее 7,5%.

Таким образом, если объекты или варианты не отличаются друг от друга, например, по показателям надежности, они попадают в зону неопределенности, называемую зоной равной надежности. Если объекты или варианты не различаются по показателям при­веденных затрат, то они оказываются в зоне неопределенности, называемой зоной равной экономичности [5].

При попарном сравнении вариантов технических решений возможны следующие случаи, определяемые условиями (15.11), (15.12):

1. Варианты неразличимы по показателю У (попадают в зону равной надежности):

но различимы по затратам без учета ущерба (см. формулу (15.1)).

В этом случае при

вариант 1 лучше, чем вариант 2.

2. Варианты неразличимы по затратам без учета ущерба (в зо­не равной экономичности):

но различимы по ущербу.

В этом случае при

У₂-У₁>2σ_у

вариант 1 лучше, чем вариант 2.

3. Варианты различаются по затратам без учета ущерба и по ущербу:

В этом случае при

вариант 1 лучше, чем вариант 2.

4. Варианты неразличимы ни по ущербу, ни по затратам, т. е. находятся в зоне неопределенности интегральных критериев на­дежности и экономичности:

Практически неразличимыми считают варианты, у которых значения Е_НК + И различаются менее, чем на 5% [17], а значе­ния У — менее чем на 10% [9]. Уверенное различение вариантов по затратам с учетом ущерба начинается при различии оценок за­трат не менее чем на 15% [5]. При различии оценок затрат с уче­том ущерба на 5... 15% вероятность ошибки при выборе составля­ет 10...20%, т. е. весьма существенна.

В любом из этих рассмотренных случаев может встретиться и неопределенность частного вида. Например, у 1-го варианта час­тота аварий k- г о вида выше, чем частота аварий этого вида у 2-го варианта, и в то же время частота аварий r-го вида выше, чем у 2-го варианта. Проигрыш по показателям одного вида может быть скомпенсирован выигрышем по показателям другого вида. Так может получиться и с вариантами, попавшими в зону равной эко­номичности.

Выбор оптимальных решений из числа попавших в зону неоп­ределенности производится на основе комплексных критериев эффективности.

 

15.3.

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: