Случайные величины, используемые

В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

В теории надежности приходится иметь дело с двумя класса­ми случайных величин — дискретными и непрерывными. Приме­ры дискретных случайных величин: число отказов или число вос­становлений объекта за заданное время. Примеры непрерывных случайных величин: наработка объекта до отказа, наработка объ­екта между двумя отказами, время восстановления, ресурс. В со­ответствии с этим рассмотрим два класса распределений: дискрет­ные и непрерывные.

Центральным понятием теории надежности является понятие «отказ», заключающееся в нарушении работоспособного состоя­ния объекта. Хотя сам факт отказа объекта — явление детерми­нированное, но неполнота сведений об объекте и протекающих в нем и окружающей среде процессов приводят к вероятному ха­рактеру отказов, т. е. отказ объекта может быть вызван разными причинами и иметь различные особенности (см. раздел 1.3). Так как время появления отказа — величина случайная, вероятность этого события может быть вычислена с помощью разнообразных подходов. Наиболее обоснованным из них является применение в теории надежности методов теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов. Поэтому здесь целе­сообразно повторить основные положения этих математических методов.

Нарушение условия функционирования ЭА является случай­ным событием, оно возникает как результат большого числа дру­гих событий в системе, и естественно, может произойти или нет. Событие, которое обязательно произойдет, называется достовер­ным, а которое не может произойти — невозможным.

При расчете надежности ЭА необходимо уметь интерпретиро­вать комбинации событий.

Пусть А — некоторое событие. Противоположное ему событие обозначается . События А и Вназываются несовместимыми, если наступление одного из них исключает появления другого, т. е.

Если два независимых события А и Ввозникают одновремен­но, т. е. появление одного из них непременно будет вызывать по­явление другого, то их называют совместными

Допустим, что из п испытуемых аппаратов только m благопри­ятствуют событию А. Отношение называется вероятностью события А. P(A) — безразмерная величина, она служит «ме­рой случайности» событий и обладает следующими свойствами:

1) если А — достоверное событие, то Р(А) = 1;

2) если А — невозможное событие, то Р(А) = 0;

3) если А и В являются несовместимыми событиями, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) или Р(АВ) = 0;

4) если А и B — совместные события, то Р(АВ) = Р(А)Р(В);

5) если А и , то Р(А) = 1-Р().

Вероятность совместного появления двух событий А и В равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие на­ступило. Примером наступления взаимосвязанных и совместных событий можно назвать возникновение большой зоны выброса ионизированных газов из ЭА, что приводит к образованию элек­трической дуги между линиями силовой цепи.

К случайным событиям, характеризующим надежность ЭА, следует отнести: отказ работоспособности; полный отказ работо­способности; ложное срабатывание; резервирование и т. д.

Отказ работоспособности — событие, заключающееся в пе­реходе объекта с одного уровня работоспособности на другой, бо­лее низкий. Уровень работоспособности определяется заданными перечнем и объемом функции, который ЭА способен выполнять.

Полный отказ работоспособности — неработоспособное со­стояние.

Ложное срабатывание — срабатывание аппарата при отсут­ствии требования срабатывания данного и других изделий сис­темы.

Резервирование — наличие резервных элементов, которые вклю­чаются только после автоматического отключения отказавших элементов. Так продлевается работоспособность системы.

Количественной оценкой случайного события является случай­ная величина, принимающая в результате опыта то или иное зна­чение. Между случайной величиной и случайным событием суще­ствует тесная связь. За случайную величину можно принять чис­ло однородных случайных событий за определенный промежуток времени. Случайные величины имеют численное значение и под­чиняются тем или иным объективным закономерностям. Основой для их изучения является статистический материал и методы тео­рии вероятностей.

К случайным величинам в аппаратостроении относятся: нара­ботка до отказа, время отказной работы, износостойкость и т. д.

Случайной величиной на вероятном пространстве на­зывается измеримая функция, определенная на Ω, т. е. неко­торая функция элементарного события .

Вероятностным пространством (полем вероятностей) называется совокупность трех объектов — пространства элемен­тарных событий Ω, σ-алгебры событий и вероятной меры Р(А).

Пространство элементарных событий Ω — произвольное множе­ство, элементы которого (элементарные события) будем обозначать буквой ω. Событие Е называется элементарным, если для всякого события А случайного эксперимента оно влечет либо А, либо . Непустое множество событий, которое удовлетворяет условиям:

1) если

2) если
называется алгеброй событий.

Если алгебра событий такова, что с каждой бесконечной по­следовательностью событий она содержит и сумму событий и произведение событий то такая алгебра называется σ-алгеброй. Событие , состоит в том, что из последовательно­сти событий , происходит, по крайней мере, одно, а событие — в том, что происходят все события одновременно. Ме­рой на σ-алгебре подмножеств ψназывается неотрицательная счет­но-аддитивная функция Р(А) множества, т. е. такая функция, для которой

(4.12)

для всякой последовательности попарно непересекающихся множеств из ψ Другими словами, числовая функция определенная на ψи обладающая свойствами (1.1) и для произвольной последовательности попарно несовместимых со­бытий 1, 2,... ( при ), называется вероятностью. Следовательно, функция является мерой, заданной на ψи удовлетворяющей условию нормировки (вероятностной мерой). Пара объектов — некоторое множество Ω и некоторая σ-алгебра его подмножеств ψ — называется измеримым пространством Таким образом, вероятностное пространство — это измеримое пространство с нормированной мерой на нем. Случайная величина полностью определена, если известен исход эксперимента ω. Обычно случайные величины обозначают ξ вместо ξ(ω), не указывая на зависимость от элементарного события.

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее функция распределения. Для задания распределения величины достаточно задать функцию

(4.13)

которая называется функцией распределения величины и является одномерной функцией распределения. Иначе интегральным законом распределения. Если — дискретная величина, для которой то

где , если х > 0; , если х < 0. Говорят, что ξ, имеет непрерывное распределение, если — непрерывная функция. Величина ξ, имеет непрерывное распределение, если существует такая функция , что

(4.14)

Функция , удовлетворяющая соотношению (4.14), назы­вается плотностью распределения величины ξ. Плотность удовлетворяет следующим очевидным условиям:

(4.15)

(4.16)

В частности, интенсивность отказов ЭА λ(t) в течение эксплуа­тации является плотностью распределения вероятностей. Тогда среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа)

Пользуясь понятием функции распределения и плотности ве­роятности, можно дать определение непрерывной случайной ве­личины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функ­ция распределения непрерывна на всей числовой оси, а плотность распределения существует и непрерывна всюду.

Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы

Случайные величины			—		—
Вероятности			—		—

Иногда удобно изображать закон распределения графически. На дискретной системе координат по оси абсцисс откладываем зна­чения случайной величины, по оси ординат — соответствующее ей значение вероятности. Соединяя точки, получаем ломаную кри­вую, которая называется многоугольником распределения.

Пример 1. Проводятся испытания 6 контакторов на комму­тационную износостойкость. Вероятность отказа каждого кон­тактора равновелика. Тогда за­кон распределения имеет вид

	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Графически закон распреде­ления примет вид многоугольни­ка (рис. 4.4).

Пример 2. Проводится испы­тание контактора постоянного тока на 150 А типа КМ2000. Ком­мутационная износостойкость главных контактов контактора должна быть не менее 100 000 операций вероятности отказа. Вероятность отказа через каж­дые 20 000 операций равна

 

	0,2	0,4	0,6	0,8

Здесь х ₁= 1 — после 20 000; х ₂ = 2 — после 40 000; — пози­ция после каждой 20 000 и т. д.

Закон распределения имеет вид (рис. 4.5).

После 100 000 операций вероятности отказа считается, что про­исходит полный износ главных контактов, и контактор отключа­ется.

Математическое ожидание случайной величины ξ (обознача­ется Мξ)есть предел

 

(4.17)

где — последовательность дискретных случайных величин, оп­ределяемых равенством ξ = k/n если Очевидно, что

Математическое ожидание удовлетворяет следующим свой­ствам:

1)

2)

3)

4)

5)

Для вычисления математического ожидания используются следующие формулы

(4.18)

при условии, что интеграл справа существует.

Моменты случайных величин служат для описания свойств плотности распределения случайной величины ξ. Они содержат меньше информации о случайной величине по сравнению с плот­ностью распределения, но часто более удобны при решении при­кладных задач. Величина

(4.19)

называется k-м моментом величины ξ (если указанное математи­ческое ожидание существует).

Часто величина называется начальным моментом k- гопорядка случайной величины ξ. При k = 1 начальный момент первого порядка является математическим ожиданием непре­рывной случайной величины ξ,

(4.20)

Математическое ожидание может быть оценено как стати­стическое среднее по ,

i = реализациям:

(4.21)

причем ; k-й момент центрированной случай­ной величины ξ называется k-м центральным моментом

(4.22)

Особую роль играет второй центральный момент , кото­рый называется дисперсией случайной величины ξ:

Для не прерывных случайных величин

(4.23)

Статистически дисперсия по реализациям рассчитывается по формуле

(4.24)

причем

ДисперсР1я характеризует рассеивание значений случайной ве­личины ξ, в окрестности ее математического ожидания. Наряду с дисперсией , в качестве меры рассеивания широко используется среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ (СКО)

Отметим два обстоятельства:

1) всегда определена, если определено M ξ;

2) если , т. е. в этом случае величина ξ, с вероятностью 1 постоянна.

В дальнейшем для сокращения записи будем обозначать на­чальные и центральные моменты случайной величины ξ, соответ­ственно и . Начальный и центральный моменты нулевого по­рядка .

Центральный момент третьего порядка

(4.25)

характеризует асимметрию кривой плотности распределения . Если — симметричная непрерывная функция с осью симмет­рии, проходящей через , то . В этом случае также равны нулю и все другие нечетные центральные моменты случайной ве­личины ξ.

Центральный момент четвертого порядка

(4.26)

характеризует эксцесс кривой плотности распределения .

Если случайная величина ξ, непрерывна, то значения х, где плотность достигает максимального значения, называются модами. Если мода единственна, то распределение случайной ве­личины называют унимодальным, в противоположном случае — мультимодальным. Если ξ, — дискретная случайная величина и то ее модами называют те значения для которых

(4.27)

Медианой случайной величины ξ называется значение х', для которого

(4.28)

Для случайных величин с непрерывным распределением ме­диана определяется как значение х', для которого

(4.29)

Квантиль порядка есть значение х_а, для которого

(4.30)

 

Если ξ, — случайная величина с непрерывным распределени­ем, то квантиль х_а порядка а определяется равенством . Медиана является квантилью порядка 0,5.

Условной вероятностью события А относительно события В, для которого Р(В) > 0, называется величина

(4.31)

Формула умножения вероятностей:

(4.32)

Общая формула умножения вероятностей:

(4.33)

Формула полной вероятности. Пусть Е₁, Е₂,..., Е_п — полная группа событий (предполагаем, что ). Тогда для всякого события А

Формула Байеса дает выражение для условных вероятностей одного из событий Е_к полной группы Е₁, Е₂,..., Е_п при условии, что произошло событие А:

(4.34)

Предположим, что событие А может происходить при гипоте­зе , заключающейся в том, что произошло событие Е_к с вероят­ностью Р(А/Е_к), а Р(Е_к)— вероятность гипотезы .

Формула Байеса позволяет вычислить условную вероятность гипотезы Н_к при условии, что произошло событие А, через веро­ятности гипотез и вероятности события А при различных гипоте­зах. Выражение

(4.35)

называется условной функцией распределения величины ξ отно­сительно события А. Она определена, если Р(А) > 0.

Если непрерывна и

то называется условной плотностью распределения вели­чины ξ относительно события А. Условная функция распределе­ния и условная плотность распределения обладают свойствами функции распределения и плотности распределения соответствен­но. Моменты, вычисленные по условной функции распределения, называются условными моментами случайной величины с,. В ча­стности, выражение

(4.36)

если интеграл справа абсолютно сходится, называется условным математическим ожиданием величины £, относительно события А.

Формула полного математического ожидания имеет вид

(4.37)

где Е₁, Е₂,..., Е_п — полная группа событий; .

С помощью условных функций и плотности распределения можно установить стохастическую зависимость между составляю­щими случайного вектора .

Если вектор ., состоит из т независимых составляющих произведению плотностей распределения его составляющих:

(4.38)

Используя формулы (4.32) и (4.38), нетрудно показать, что из независимости случайных величин следует их некоррелирован­ность. Обратное утверждение в общем случае неверно. Иначе гово­ря, условие независимости случайных величин более сильное, чем условие некоррелированности.

Производящие функции. Пусть v — целочисленная неотрица­тельная случайная величина с распределением вероятностей

(4.39)

Производящей функцией распределения (4.39) случайной ве­личины v называется ряд

(4.40)

Для группы п целочисленных неотрицательных величин совместная производящая функция определяется рядом

где

Распределение вероятностей (4.39) однозначно определяется своей производящей функцией

Математическое ожидание Mv выражается формулой

Факториальные моменты случайной величины вычисляются по формуле

В частности, математическое ожидание M v и дисперсия D v определяются формулами

Преобразованием Лапласа p (s) неотрицательной случайной величины ξ с функцией распределения вероятностей называется функция

(4.41)

Если распределение Р (х)имеет плотность и (х) = Р' (х),то пре­образование Лапласа:

(4.42)

Преобразование Лапласа можно представить в виде ряда

(4.43)

в любом интервале , в котором ряд сходится.

Преобразование Лапласа при вещественных λ > 0 имеет вероятностный смысл

(4.44)

где τ — случайная величина, не зависящая от ξ и имеющая пока­зательное распределение с параметром λ:

(4.45)

при этом

Выражение (4.44) интерпретируется следующим образом:

При λ > 0 есть вероятность того, что интересующий нас момент (отказа, восстановления и т. д.) ξ, происходит до момента останов­ки наблюдений τ, имеющего показательное распределение.

Преобразование Лапласа суммы двух независимых случайных величин равно произведению преобразований Лапла­са слагаемых

что равносильно равенству

Преобразование Лапласа суммы

независимых между собой и от v одинаково распределенных слу­чайных величин с преобразованием Лапласа определяется суперпозицией функций ϕ(z) и :

(4.46)

где v — целочисленная неотрицательная случайная величина с производящей функцией

Понятие преобразования Лапласа естественным образом рас­пространяется на многомерные распределения.

 

4.4.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: