Функции водоизмещения, в форме Нормана

Впервые суммарное изменение масс судна, связанное с изменением отдельных составляющих нагрузки, в математической форме описал французский кораблестроитель Жак-Огюстен Норман в 1885 г.

Будем рассматривать дифференциальную форму уравнения масс Нормана на примере следующего алгебраического уравнения масс, выраженных в функции водоизмещения:

D = Р_к + Р_сэу + Р_сэз + Р_зв + Р = р_к D + р_сэу D^2/3 + р_сэз RD^2/3 + р_звD + Р,

где Р – постоянные массы: Р = P_гр+ P_эк+ P_пров+ P_{пр. вод}+ P_сн.

Общий вид дифференциального уравнения масс:

D = F(D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв) + P,

где: - F(D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв) – сумма масс, зависящих от переменных D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв, влияющих на абсолютное значение той или иной состав­ляющей нагрузки:

F(D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв) = р_к D + р_сэу D^2/3 + р_сэз RD^2/3 + р_звD

Полный дифференциал исходного выражения D = F(D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв) + P

dD = dF(D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв) + dP,

где: - dF(D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв) – изменения масс, зависящих от переменных D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв;

- dP – изменения постоянных масс.

Считая, что D, р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв являются независимыми переменными, полный дифференциал можно представить путем дифференцирования исходного алгебраического уравнения в частных производных:

dD = (∂F/∂D)dD + (∂F/∂р_к)dр_к + (∂F/∂р_сэу)dр_сэу + (∂F/∂v)dv +(∂F/∂C)dC +

+ (∂F/∂р_сэз)dр_сэз + (∂F/∂R)dR + (∂F/∂р_зв)dр_зв + dP,

где:

- ∂F/∂D - частная производная функции F по водоизмещению D;

- ∂F/∂р_к - частная производная функции F по измерителю массы корпуса р_к;

- ∂F/∂р_сэу - частная производная функции F по измерителю массы судовой энергетической установки р_сэу;

- ∂F/∂v - частная производная функции F по скорости v;

- ∂F/∂C - частная производная функции F по адмиралтейскому коэффициенту С;

- ∂F/∂р_сэз - частная производная функции F по измерителю массы судовых энергетических запасов р_сэз;

- ∂F/∂R - частная производная функции F по дальности плавания R;

- ∂F/∂р_зв - частная производная функции F по измерителю массы запаса водоизмещения р_зв;

- dD, dр_к, dр_сэу, dv, dC, dр_сэз, dR, dр_Зв – изменения независимых переменных (изменение характеристик проектируемого судна по сравнению с характеристиками судна-прототипа);

- dP –изменения постоянных масс.

В этой формуле первый член (∂F/∂D)dD представляет собой изменение массы какого-либо раздела нагрузки, или суммы масс нескольких разделов, обусловленное приращением водоизмещения dD. При этом не имеет значения причина, по которой произошло приращение dD.

Изменение масс, представленных суммой членов

[(∂F/∂р_к)dр_к + (∂F/∂р_сэу)dр_сэу + (∂F/∂v)dv +(∂F/∂C)dC + (∂F/∂р_сэз)dр_сэз +

+ (∂F/∂R)dR + (∂F/∂р_зв)dр_Зв] = [dF]*,

представляет собой приращение водоизмещения судна [dF]*, вызванное изменением отдельных параметров (р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв), от которых зависит масса того или иного раздела нагрузки.

Например, приращение скорости dv вызовет приращение масс энергетической установки [dP_сэу]* = (∂P_сэу/∂v)dv и судовых энергетических запасов [dP_сэз]* = (∂P_сэз/∂v)dv.

Если какой-либо из вышеперечисленных параметров остается неизменным по сравнению с прототипом, то, соответственно, оказывается равным нулю и приращение раздела нагрузки, зависящего от этого параметра.

Например, при dv = 0 приращение массы раздела нагрузки, зависящего от скорости v: [dP_сэу]* = (∂P_сэу/∂v)dv = 0.

С учетом введенного обозначения полное приращение водоизмещения:

dD = (∂F/∂D)dD + [dF]* + dP

После преобразования этой формулы получаем окончательный вид дифференциального уравнения масс в форме Нормана:

dD = η_н{[dF]* + dP},

где η_н = 1/(1 ─ ∂F/∂D) носит наименование «коэффициент Нормана».

Как это следует из структуры формулы, коэффициент Нормана:

η_н > 1

Поэтому приращение водоизмещения dD всегда больше приращения массы какого-либо раздела нагрузки [dF_i]*, вызванного изменением параметров, от которых зависит масса этого раздела, или независимой массы dР, или того и другого вместе. В последнем случае из этого правила может иметь место исключение, если приращения [dF_i]* и dР имеют различные знаки.

 

Полное приращение массы отдельного раздела нагрузки будет равно сумме приращения массы этого раздела, связанного с приращением водоизмещения (∂F_i/∂D)dD, и приращения массы, связанного с изменением тех независимых параметров, от которых зависит масса этого раздела [dF_i]*

dP_i = (∂F_i/∂D)dD + [dF_i]*

Для рассматриваемого состава уравнения масс полное приращение масс отдельных разделов будет следующим:

- приращение массы корпуса

dP_к = (∂P_к/∂D)dD + [dF_к]* = (∂P_к/∂D)dD + (∂P_к/∂р_к)dр_к;

- приращение массы судовой энергетической установки

dP_сэу = (∂P_сэу/∂D)dD + [dF_сэу]* = (∂P_сэу/∂D)dD + (∂P_сэу/∂р_сэу)dр_сэу + +(∂P_сэу/∂v)dv + (∂P_сэу/∂С)dС;

- приращение массы судовых энергетических запасов

dP_сэз = (∂P_сэз/∂D)dD + [dF_сэз]* = (∂P_сэз/∂D)dD + (∂P_сэз/∂р_сэз)dр_сэз + (∂P_сэз/∂v)dv + + (∂P_сэз/∂С)dС + (∂P_сэз/∂R)dR;

- приращение массы запаса водоизмещения

dP_зв= (∂P_зв/∂D)dD + [dF_зв]* = (∂P_зв/∂D)dD + (∂P_зв/∂р_зв)dр_зв;

- приращение независимых масс

dP = dP_гр + dP_эк + dP_пров + dP_{пр. вод.} + dP_сн.

 

Для составления расчетных формул следует воспользоваться следующим правилом дифференцирования в частных производных.

Пусть масса какого-либо раздела Р_i определяется следующей зависимостью

Р_i = р_iLⁿB^m

Расчетная формула для частной производной ∂P_i/∂L

∂P_i/∂L = nр_iL^n-1B^m = nр_iLⁿB^m/L = nР_i/L.

С учетом этого простого способа дифференцирования в частных производных можно получить расчетные формулы, необходимые для решения уравнения и нахождения искомого водоизмещения проектируемого судна.

Расчет коэффициента Нормана η_н = 1/(1 ─ ∂F/∂D)

∂F/∂D = ∂Р_к/∂D + ∂Р_сэу/∂D + ∂Р_сэз/∂D + ∂Р_зв/∂D = + + +

η_н = / (1– – – – )

Расчет приращения водоизмещения судна [dF]*, вызванного изменением отдельных параметров v, R, C, р_к , р_сэу, р_сэз, р_зв (см. исходное алгебраическое уравнение масс)

[dF]*= [dF_к]* + [dF_сэу]* + [dF_сэз]* + [dF_зв]* = [(∂P_к/∂р_к)dр_к] + [(∂P_сэу/∂р_сэу)dр_сэу +

+ (∂P_сэу/∂v)dv + (∂P_сэу/∂С)dС] + [(∂P_сэз/∂р_сэз)dр_сэз+ (∂P_сэз/∂v)dv + (∂P_сэз/∂С)dС +

+ (∂P_сэз/∂R)dR] + [(∂P_зв/∂р_зв)dр_pв] =

= [ dр_к] + [ dр_сэу + 3 dv – dC] + [ dр_сэз + 2 dv – dC +
+ dR] + [ dр_зв]

Расчет водоизмещения проектируемого судна

D = D₀ + dD

 

После определения приращения водоизмещения dD можно найти полные изменения переменных масс, входящих в нагрузку проектируемого судна.

1. Приращение массы корпуса

dР_к = (∂P_к/∂D)dD + (∂P_к/∂р_к)dр_к = dD + dр_к

2. Приращение массы судовой энергетической установки

dР_сэу = (∂P_сэу/∂D)dD + (∂P_сэу/∂р_сэу)dр_сэу + (∂P_сэу/∂С)dС + (∂P_сэу/∂v)dv =

= dD + dр_сэу + 3 dv – dC

3. Приращение массы судовых энергетических запасов

dР_сэз = (∂P_сэз/∂D)dD + (∂P_сэз/∂р_сэз)dр_сэз + (∂P_сэз/∂С)dС + (∂P_сэз/∂v)dv +

+ (∂P_сэз/∂R)dR = dD + dр_сэз + 2 dv – dC + dR

4. Приращение массы запаса водоизмещения

dР_зв = (∂P_зв/∂D)dD + (∂P_зв/∂р_зв)dр_зв = dD + dр_зв.

При использовании дифференциального метода для расчета нагрузки проектируемого судна приращения независимых параметров р_к , р_сэу, v, C, р_сэз, R, р_зв по сравнению с судном-прототипом определяются с учетом знака:

dр_к = р_к – р_к0, dр_сэу = р_сэу – р_сэу0, dv = v – v₀ и тому подобное.

Полные массы разделов нагрузки проектируемого судна.

1. Масса корпуса:

Р_к = Р_к0 + dР_к = Р_к0 + dD + dр_к..

2. Масса судовой энергетической установки:

Р_сэу = Р_сэу0 + dР_сэу = Р_сэу0 + dD + dр_сэу + 3 dv – dC.

3. Масса судовых энергетических запасов:

Р_сэз = Р_сэз0 + dР_сэз = Р_сэз0 + dD + dр_сэз + 2 dv – dC + dR.

4. Масса запаса водоизмещения:

Р_зв = Р_зв0 + dР_зв = Р_зв0 + dD + dр_зв.

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: