 |
Проверка гипотезы нормальности по совокупности выборок
|
|
|
|
Если объем испытаний очень мал (n < 8), надёжно оценить вид функции распределения характеристики по одной выборке нельзя. Но если есть результаты испытаний большого числа выборок одного объема n, например, при текущих контрольных испытаниях партий продукции, можно проверить гипотезу нормальности независимых генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, даже если параметры функций распределения этих совокупностей неравны.
Из каждой k -й выборки берут случайным образом один результат xik, и рассчитывают 
для каждой выборки.
При n =4 проверяют соответствие распределения τ равномерному распределению с параметрами a = 
и b = 
(о равномерном распределении см. пример 10.3). Если распределение τ равномерное, то исходные генеральные совокупности подчиняются нормальному распределению. Проверка проводится по любому критерию согласия, например, по критерию омега-квадрат.
При n ≠ 4 вычисляют 
. Если h подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы n- 2, то исходные генеральные совокупности подчиняются нормальному распределению. Проверка проводится по любому критерию согласия, например, по критерию омега-квадрат.
Учитывая лёгкость автоматического пересчёта, целесообразно провести проверку по критерию согласия многократно, каждый раз выбирая случайным образом новые значения xik.
Пример 12.1. В лаборатории систематически проводили испытания партий бумаги различных марок на воздухопроницаемость. Значение воздухопроницаемости, см3/мин, находили как среднее из пяти определений. Результаты приведены в табл. 12.1.
Таблица 12.1.
| № партии | Номер образца | № партии | Номер образца | |||||||||
Проверить, соответствуют ли распределения величин воздухопроницаемости в выборках нормальным при уровне значимости 0,95.
|
|
|
Фрагмент выполнения примера 12.1 показан на рис. 12.1.
Рис.12.1. Фрагмент выполнения примера 12.1.
Поскольку n ≠ 4, необходимо рассчитать значения η для каждой выборки и оценить соответствие распределения η распределению Стьюдента.
Вводим исходные данные (предусмотреть количество выборок до 1000), по любой из выборок находим объём единичной выборки n (функция СЧЁТ). Для каждой выборки находим среднее значение и выборочное СКО.
Затем из каждой выборки берём одно случайно выбранное значение xik. Для этого по функции СЛЧИС() находим случайное число в диапазоне 0..1, и умножая его на объём одной выборки, получаем случайное число в диапазоне от 0 до объёма выборки (столбец сл. число). При этом изначально выбранные случайные числа будут меняться при каждом изменении таблицы, однако это не имеет значения, т.к. всё равно они будут случайными, что и нужно. Округляя это число до целого в сторону увеличения (функция ОКРУГЛВВЕРХ), получаем случайно выбранный номер элемента выборки (столбец i сл). С помощью функции ИНДЕКС по этому номеру находим значение случайно выбранного элемента выборки. Далее рассчитываем величины τ и η. Диапазон со значениями η копируем в электронную таблицу, в которой по критерию омега-квадрат оценивается соответствие экспериментального распределения распределению Стьюдента (команда Копировать - Специальная вставка - Значения). Перед копированием необходимо временно снять защиту листа, иначе будет недоступна сортировка η по возрастанию, т.е. в вариационный ряд. Следует также ввести нужные значения числа степеней свободы и уровня значимости.
|
|
|
Пример 12.2. В лаборатории систематически проводили испытания партий противокоррозионной бумаги различных марок на содержание ингибитора. Содержание ингибитора в бумаге, г/м2, находили как среднее из четырёх определений. Результаты за некоторый период приведены в табл. 12.2. Проверить, соответствуют ли распределения величин содержания ингибитора в выборках нормальным при уровне значимости 0,95.
Для выполнения примера используем электронную таблицу, созданную в примере 12.1, т.е. вводим в неё (предварительно скопировав таблицу на отдельный лист) результаты испытаний (последний столбец для данных будет пустым).
Таблица 12.2.
| № партии | Номер образца | № партии | Номер образца | ||||||
| 8,1 | 7,9 | 8,5 | 8,3 | 4,5 | 4,7 | 4,2 | 4,3 | ||
| 7,8 | 8,2 | 8,2 | 8,2 | 8,3 | 7,9 | 8,2 | 8,1 | ||
| 8,8 | 8,6 | 8,6 | 8,3 | 7,8 | 8,2 | 8,3 | |||
| 3,5 | 3,6 | 3,8 | 3,8 | 8,8 | 9,1 | 8,7 | 8,7 | ||
| 8,7 | 8,8 | 8,5 | 8,9 | 3,7 | 3,5 | 3,8 | 3,8 | ||
| 3,8 | 3,8 | 3,9 | 3,9 | 8,9 | 8,8 | 8,4 | 8,5 | ||
| 4,1 | 3,9 | 3,9 | 3,8 | 3,8 | 3,9 | ||||
| 9,2 | 9,1 | 9,1 | 9,2 | 4,1 | 4,1 | 3,9 | 4,1 | ||
| 8,8 | 8,7 | 8,8 | 8,9 | 9,4 | 9,1 | 9,3 | 9,2 | ||
| 3,6 | 3,6 | 3,5 | 3,7 | 8,8 | 8,7 | 8,8 | 8,9 | ||
| 3,8 | 3,8 | 3,8 | 3,9 | 3,6 | 3,6 | 3,5 | 3,7 | ||
| 2,9 | 3,2 | 3,1 | 2,9 | 3,9 | 3,8 | 3,8 | 3,9 | ||
| 3,7 | 3,6 | 3,5 | 3,6 | 2,9 | 3,2 | 3,1 | 2,9 | ||
| 3,5 | 3,6 | 3,5 | 3,7 | 3,7 | 3,6 | 3,6 | 3,4 | ||
| 3,4 | 3,5 | 3,6 | 3,6 | 3,5 | 3,3 | 3,5 | 3,7 | ||
| 8,3 | 8,2 | 8,3 | 8,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 | 3,6 | ||
| 8,7 | 8,9 | 8,9 | 8,6 | 8,4 | 8,4 | 8,3 | 8,4 | ||
| 9,1 | 9,2 | 9,3 | 9,2 | 8,7 | 8,9 | 8,8 | 8,6 | ||
| 9,1 | 9,1 | 9,2 | 9,4 | 9,3 | |||||
| 3,8 | 3,8 | 3,6 | 3,6 | 9,1 | 8,8 | 9,2 | |||
| 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,6 | 3,8 | 3,8 | 3,6 | 3,6 | ||
| 3,4 | 3,4 | 3,4 | 3,3 | 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,6 | ||
| 4,1 | 4,1 | 4,3 | 4,1 | 3,4 | 3,4 | 3,4 | 3,3 | ||
| 2,8 | 2,9 | 4,1 | 4,1 | 4,2 | 3,9 | ||||
| 3,6 | 3,6 | 3,7 | 3,7 | 2,8 | 2,8 | 3,1 |
Поскольку n = 4, необходимо оценить соответствие распределения величины τ равномерному распределению.
|
|
|
Диапазон со значениями τ копируем в электронную таблицу, в которой по критерию омега-квадрат оценивается соответствие экспериментального распределения равномерному (команда Копировать - Специальная вставка - Значения). Перед копированием временно снять защиту листа, иначе будет недоступна сортировка τ по возрастанию, т.е. в вариационный ряд. Следует также ввести нужные значения параметров равномерного распределения и уровня значимости.
Задание.
1. Выполнить расчёты по примеру 12.1. Для различных уровней значимости провести проверку нормальности десять раз при изменяющихся случайных числах. Результаты занести в табл. 12.3.
Таблица 12.3.
| № проверки | Соответствие воздухопроницаемости нормальному распределению (+/-) | ||||||||
| α = 0,01 | α = 0,05 | α =0,1 | |||||||
| ω2 | ω2табл | +/- | ω2 | ω2табл | +/- | ω2 | ω2табл | +/- | |
| % для + |
2. Выполнить расчёты по примеру 12.2. Для различных уровней значимости провести проверку нормальности десять раз при изменяющихся случайных числах. Результаты занести в табл. 12.4.
|
|
|
Таблица 12.4.
| № проверки | Соответствие содержания ингибитора нормальному распределению (+/-) | ||||||||
| α = 0,01 | α = 0,05 | α =0,1 | |||||||
| ω2 | ω2табл | +/- | ω2 | ω2табл | +/- | ω2 | ω2табл | +/- | |
| % для + |
Лабораторная работа № 13
|
|
|
