Двугранный и многогранный углы.

Если j - величина двугранного угла, то 0°<j<180°. При решении задач на нахождение двугранного угла могут быть применены геометрический, а также поэтапно-вычислительный методы. Применение поэтапно-вычислительного метода связано необходимость построения линейного угла искомого двугранного угла j и с построением треугольника, содержащего этот угол j или угол j₁=180°-j.Подсчитывая стороны построенного треугольника, находят угол j.

Задача 15. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, и АС=ВС. На ребре МС взята точка К – середина этого ребра. Найти двугранный угол ВКАС, если: а)МВ=АС; б)МВ=2АС.

Решение а) (рис. 31, а). Геометрический метод. Так как прямая МВ перпендикулярна плоскости АВС, то МВ^АС, т. е. И АС^МВ. Таким образом, АС^ВС и АС^МВ, следовательно, АС^ВК, т. е. и ВК^АС (1).

Так как в треугольнике МВС МВ=ВС, то ВК не только медиана этого треугольника, но и ВК^МС (2).

 Из результатов (1) и (2) следует, что прямая ВК перпендикулярна плоскости МАС. Тогда плоскость АВК, проходящая через прямую ВК, также перпендикулярна плоскости МАС. Другими словами, двугранный угол ВАКС равен 90°.

б) (рис. 31, б) Поэтапно-вычислительный метод. Построим линейный угол искомого двугранного угла, ребром которого является прямая АК, а гранями – полуплоскости ВАК и САК.

1. В треугольнике АСК через вершину С проведем прямую, перпендикулярную ребру АК искомого двугранного угла. Подсчитаем для этого все стороны треугольника АСК, полагая, например, АС= а. Тогда ВС= а, МВ=2 а, МС= а Ö5, СК=½СМ=½Ö5, АК²=АС²+СК², т. е. АК= .

Если СН^АК, то СН·АК=АС·СК, откуда СН= . Тогда АН= , и, следовательно, АН:АК=4:9, откуда ясно построение точки Н и затем прямой СН, которая перпендикулярна прямой АК.

2. В треугольнике АВК через вершину В проведем прямую, перпендикулярную ребру АК двугранного угла ВАКС. Для этого подсчитаем стороны треугольника АВК. Получаем АВ= а Ö2, ВК=½МС=½ а √2 и АК= .

Если BF^АК, АВ²-AF²=ВК²-KF², или 2 а ²-AF²= откуда AF= а, и, следовательно, AF:АК=2:3. Таким образом, ясно построение точки F и затем прямой BF, которая перпендикулярна прямой АК.

3. В треугольнике АСК через точку F проведем прямую FL║СН. Тогда FL^АК. Так как, кроме того, BF^АК, то ÐBFL – линейный угол двугранного угла ВАКС.

4. Соединим точку В с точкой L и подсчитаем стороны треугольника BFL. BF= . Из подобия треугольников AFL и АСН следует, что FL:CH=AF:AH, где AF= a, АН= , СН= .

Тогда FL= . Так как AL= = , то CL=AL – AC=½ a. Тогда BL= .

Итак, в треугольнике BFL известны все стороны: BF= a, FL= .

5. Из треугольника BFL по теореме косинусов получаем:

BL²=BF²+FL²-2BF·FL·cosBFL, или

, откуда cosBFL= .

Это значит, что двугранный угол ВАКС равен arccos .

Заключение.

Итак, очевидна актуальность решения задач с помощью ортогонального проектирования. В реферате рассмотрены разнообразные задания по стереометрии. Показаны построения прямой и сечений на изображениях плоских и пространственных фигур. Также даны решения по вычислению расстояний (между точками, от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми), нахождению углов (между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, меду плоскостями). При рассмотрении задач использовались следующие способы и методы: способ выносных чертежей, вычислительный и геометрический способы, поэтапно-вычислительный и координатный методы. 

 

Список литературы.

1. Василенко Е.А. Начертательная геометрия. – М., 1990..

2. Гордон В.О., Симинцев М.А., Агневских М.А. Курс начертательной геометрии. – М.,1963.

3. Литвиненко В.Н. Сборник задач по стереометрии. – М., 1990..

4. Розов С.В. Сборник заданий. – М., 1988

12345

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: