Надёжность функционирования сложной системы.

Показатели надёжности.

Сложная система рассматривается как совокупность взаимосвязанных элементов, предназначенная для решения определённых задач.После определения целей и задач системы можно ставить вопрос об оценке функционирования системы.

В этом случае каждому состоянию системы Z(t) можно сопоставлять определённое значение характеристики качества функционирования Ф_Z(t) системы в этом состоянии [см. зависимость (20)]. Эта характеристика зависит только от состояния системы (при фиксированной задаче), даёт числовую оценку степени приспособленности системы к выполнению задачи в данном состоянии и является мгновенной оценкой функционирования системы.

Количественным показателем качества функционирования системы в момент времени t следует считать математическое ожидание случайной функции Ф_Z(t), как среднее по множеству наблюдений случайного процесса Ф[Z(t)] в момент t

Ф(t) = MФ_Z(t) = MФ[Z(t)]. (21)

Случайный процесс Ф[Z(t)] можно рассматривать как совокупность его реализаций, то есть совокупность функций Ф_Z (t). Каждой реализации Ф_Z(t) процесса функционирования системы на заданном интервале времени a ≤ t ≤ b можно сопоставить числовую оценку φ_Z[a, b] этой реализации – показатель эффективности функционирования системы на этом интервале. Этот показатель численно оценивает качество и полноту выполнения задачи в интервале времени a ≤ t ≤ b при условии, что наблюдалась именно данная реализация

процесса функционирования системы, и называется выходным эффектом системы.

Таким образом, выходной эффект системы φ_Z[a, b] является функционалом от реализации процесса функционирования системы в данном интервале времени

φ_Z[a, b] = φ{Ф_Z(t), a ≤ t≤ b} (22)

Количественным показателем эффективности функционирования системы в интервале времени a ≤ t ≤ b можно считать математическое ожидание выходного эффекта системы

φ[a, b] = Mφ_Z[a, b] = Mφ{Ф_Z(t), a ≤ t ≤ b}. (23)

Этот показатель – средний эффект системы, при этом имеется в виду среднее по множеству реализаций процесса функционирования системы.

Мгновенной оценкой функционирования сложной системы является показатель качества функционирования Ф(t) -среднее по множеству наблюдений случайного процесса Ф[Z(t)] в момент времени t.

Интервальной оценкой функционирования сложной системы является средний эффект φ[a, b] системы в рассматриваемом интервале времени a ≤ t ≤ b

- среднее по множеству реализаций случайного процесса Ф[Z(t)] в интервале времени a ≤ t ≤ b.

В некоторых случаях величина среднего эффекта φ[a, b] может быть выра

жена через показатель качества функционирования системы Ф(t). Это возможно, если вид функционала φ позволяет выразить среднюю по множеству реализаций интервальную оценку φ[a, b] процесса функционирования системы через усреднённое на данном интервале a ≤ t ≤ b значение мгновенной оценки функционирования Ф(t). Это усреднение мгновенной оценки для получения интервальной производится с помощью некоторой «весовой» функции W(t), учитывающей «полезность» системы в зависимости от времени

_b

φ[a, b] = ∫ Ф(t) dW(t). (24)

^a

Если качество функционирования системы оценивается временем её работы, производительностью, то роль «весовой» функции играет время W(t) ≡ t.

Вид показателей качества и эффективности системы определяется её назначением и факторами последствий её отказов.

Для различных сложных систем различного назначения показатели могут иметь различный вид. Во многих случаях достаточной количественной мерой эффективности системы может служить вероятностная мера, например, вероятность выполнения задачи. Показатели могут быть также размерными величинами, например, производительность системы, «доход» от её использования.

Однако, для каждой конкретной системы характеристики качества функционирования Ф_Z(t) в каждом состоянии должны выражаться мерой одного и того же типа, так, чтобы эти характеристики можно было умножать на безразмерные коэффициенты и складывать. Тогда можно говорить о математическом ожидании MФ_Z(t), приведенном в формуле (21). Точно так же выходной эффект для каждой реализации процесса функционирования должен измеряться одной мерой. Тогда можно говорить о математическом ожидании выходного эффекта Mφ_Z[a, b], приведенном в формуле (23).

Таким образом, оценка качества функционирования системы существенно зависит от надёжности. Чем выше надёжность системы, тем более эффективной будет её эксплуатация. Максимальной эффективностью обладает идеальная, то есть абсолютно надёжная система. Поэтому достаточно полную характеристику надёжности реальной системы может дать сравнение показателей качества её функционирования с показателями качества функционирования соответствующей идеальной системы. Кроме того, по аналогии с простыми системами надёжность сложных систем может характеризоваться показателями, дающими вероятностную характеристику заданного уровня качества функционирования. Для получения показателей надёжности необходимо иметь векторное описание функционирования системы.

Для векторного описания системы можно поступить следующим образом:

1)всем элементам сложной системы присвоить номера (i = 1,2,…, n, где n – общее число элементов). При этом порядок разделения системы на элементы должен определяться спецификой конкретной системы;

2)состояние каждого i – го элемента системы описать функцией состояний:

1, если i – й элемент работоспособен;

X_i(t) = {

0, если i – й элемент неработоспособен;

3)перенумеровать задачи (функции), стоящие перед данной системой. Порядок нумерации может быть произвольным, например, в порядке важности задач; всего m задач;

4)потребность в выполнении каждой j – й задачи описать характеристической функцией

1, если есть потребность в выполнении j – й задачи (функции);

Y_J(t) = {

0, если нет потребности в выполнении j – й задачи (функции);

ˉ

 

5)состояние системы описать вектором

 

Z̃(t) = [X₁(t), X₂(t),…,X_n(t), Y₁(t), Y₂(t),…,Y_m(t)]. (25)

Для однофункциональной системы формула (25) примет вид

 

_̃̃ Z̃̃(t) = [X₁(t), X₂(t),…, X_n(t), Y(t)]. (26)

Количественная характеристика функционирования системы Ф_Z(t) будет функцией вектора состояний Z(t).

По формулам (21) и (23) получают количественные показатели Ф_Z(t) и

φ_Z[a, b].

Аналогично определяются показатели качества функционирования абсолютно безотказной (идеальной) системы. Точечной (мгновенной) оценкой идеальной системы может служить характеристика качества функционирования

 

Ф_Z(t) = Ф[Z̃̃⁰(t)], где Z̃̃̃⁰(t) = [1, 1, …, 1, Y(t)]

 

и, соответственно, количественным показателем качества функционирования идеальной системы в момент t является условное математическое ожидание функции Ф_Z(t) при условии работоспособного состояния Z̃⁰(t) системы

 

Ф₀(t) = M{Ф_Z(t) / Z̃⁰(t)}. (27)

Подобным же образом для интервальной оценки

 

φ₀[a, b] = M{φ_Z[a, b] / Z̃⁰(t), a ≤ t ≤ b}. (28)

С учётом рассмотренного, можно использовать три типа показателей надёжности сложных систем:

1)показатели надёжности, определяемые сравнением показателей качества функционирования или выходного эффекта реальной и идеальной систем;

2)показатели надёжности, определяемые как вероятностные характеристики заданного уровня качества или эффективности функционирования системы;

3)векторные показатели надёжности, определяемые как наборы показателей надёжности второго типа для различных заданных уровней качества или эффективности функционирования системы.

 

К показателям надёжности первого типа относятся:

1.1)относительный показатель качества функционирования системы в момент t

R(t) = Ф(t) / Ф₀(t); (29)

1.2.) относительный средний эффект системы в интервале времени a ≤ t ≤ b

r[a, b] = φ[a, b] / φ₀[a, b]; (30)

1.3.) интегральный относительный показатель качества функционирования системы в интервале времени a ≤ t ≤ b

_b

ρ[a, b] = ∫ R(t) dW(t). (31)

^a

К показателям надёжности второго типа относятся:

2.1.) альфа-процентный коэффициент готовности K_α(t), то есть вероятность того, что в момент t уровень функционирования системы не ниже, чем α процентов от максимального;

2.2.) вероятность Q_α[a, b] альфа-процентного выходного эффекта;

2.3.) среднее время T_α[a, b] альфа-процентного функционирования;

2.4.) среднее время Т¹_α [a, b] среднее время до первого спада функционирования ниже заданного уровня.

 

Показатели надёжности третьего типа (векторные) строятся как наборы одного из показателей второго типа для различных значений α = (α₁, α₂,…, α_s), например: 3.1.) K̃_α(t) = [K_α1(t), K_α2(t),…, K_αs(t)] – вектор альфа-процентных коэффициентов готовности;

3.2.) Т̃¹_α = [T¹_α1, T¹_α2, …, T¹_αs] – вектор средних времён до первого спада функционирования ниже заданных уровней.

 

 

Показатели надёжности многофункциональных систем строятся так:

- определяются показатели надёжности по отношению к выполнению каждой отдельной задачи (функции);

- производится усреднение показателей надёжности с учётом важности выполняемых задач (функций)

 

Н = (с₁Н₁ + с₂Н₂ + … + с_mH_m) / (c₁ + c₂ +…+ c_m), (32)

где

с₁, с₂, …, с_m -коэффициенты важности задач;

Н₁, Н₂, …, Н_m – показатели надёжности при выполнении отдельных задач.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: