Системы дифференциальных уравнений.

3 .1.Основные понятия и определения.

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную, функцию и ее производные.

Система m дифференциальных уравнений с m неизвестными называется канонической, если она разрешена относительно старших производных.

Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

, (1.1)

называется нормальной.

Если в канонической системе, содержащей производные произвольного порядка

,

принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (1.2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы. Например, одно уравнение является частным случаем канонической системы. Положив , в силу исходного уравнения будем иметь . В результате получаем нормальную систему уравнений       эквивалентную исходному уравнению. Определение. Решением нормальной системы (1.1) на интервале (a,b) изменения аргумента t называется всякая система n функций   (1.2)   дифференцируемых на интервале , обращающая уравнения системы (1.1) в тождества по t на интервале (а,b). Задача Коши для системы (1.1) формулируется так: найти решение (1.2) системы при начальных условиях   (1.3)   Теорема 1.1 (существования и единственности     решения задачи Коши). Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений   (1.1)   и пусть функции определены в некоторой (n+1)-мерной области D изменения переменных . Если существует окрестность точки , в которой функции непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным , то найдется интервал изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (1.1), удовлетворяющее начальным условиям (1.3).   Определение. Система n функций   (1.4)   зависящих от t и n производных постоянных , называется общим решением нормальной системы (1.1) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если 1) при любых допустимых значениях система функций (1.4) обращает уравнения (1.1) в тождества, 2) в области функции (1.4) решают любую задачу Коши. Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных , называются частными решениями. Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений: (1.5)   Будем рассматривать систему значений как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат . Решение системы (1.5), принимающее при значения определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку . Эта линия через данную точку . Теорема 1.1 устанавливает существование и единственность такой кривой.     3.2. Интегрирование нормальных систем   Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной,     Введя новые функции , заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:   (2.1)     одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (2.1). Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система n уравнений первого порядка (1.1) эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений. Поясним этот метод на примере. Пусть требуется проинтегрировать систему   (2.2).   Дифференцируя первое уравнение системы, имеем откуда, используя второе уравнение, получаем — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной   неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид     В силу первого уравнения системы находим функцию   Найденные функции,как легко проверить, при любых значениях С1, С 2 удовлетворяют заданной системе.   3.3 Системы линейных дифференциальных уравнений. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид   (3.1)   в матричной форме – (3.2)   где   Теорема 3.1. Если все функции и , непрерывны на отоезке , то в достаточно малой окрестности каждой точки , где , выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коми и, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (3.1). Действительно, в таком случае правые части системы (3.1) непрерывны по совокупности аргументов и частные производные по ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [a, b] коэффициентам .   Введем линейный оператор   .   Тогда система (3.2) коротко запишется в виде   (3.3)   Если матрица F — нулевая, т. е. на интервале (а, b), то система (3.1) называется линейной однородной и имеет вид (3.4) Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.   Теорема 3.2. Если X(t) является решением линейной однородной системы L[X] = 0, то сХ(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.   Теорема 3.3. Сумма двух решений u однородной линейной системы уравнений является решением той же системы. Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений является решением той же системы. Теорема 3.4. Если есть решение линейной неоднородной системы , а — решение соответствующей однородной системы , то сумма будет решением неоднородной системы . Действительно, по условию, . Пользуясь свойством аддитивности оператора L, получаем     Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений .   Определение. Векторы , где   ,   называются линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные числа такие, что   (3.5)   при , причем по крайней мере одно из чисел не равно нулю. Если тождество (3.5) справедливо только при , то векторы называются линейно независимыми на . Заметим, что одно векторное тождество (3.5) эквивалентно n тождествам:   (3.5’) Определитель       называется определителем Вронского системы векторов . Определение. Пусть имеем линейную однородную систему   (3.6)   где — -матрица с элементами . Система n решений линейной однородной системы (3.4), линейно независимых на интервале , называется фундаментальной. Теорема 3.5. Определитель Вронского фундаментальной на интервале системы решений линейной однородной системы (3.4) с непрерывными на   отрезке коэффициентами отличен от нуля во всех точках интервала . Теорема 3.6. (о структуре общего решения линейной однородной системы). Общим решением в области , , , линейной однородной системы   (3.7)   с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация n линейно независимых на интервале решений системы (3.7): ( — произвольные постоянные числа). Например, система     имеет, как нетрудно проверить, решения     Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:     Общее решение системы имеет вид   или ( — произвольные постоянные). Квадратная матрица     столбцами которой являются линейно независимые решения системы (3.7), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению . Если — фундаментальная матрица системы (3.7), то общее решение системы можно представить в виде   (3.8)   где —постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (3.8) , имеем , откуда ; следовательно, .   Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (3.7) можно представить так:     Теорема 3.7 (о структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений). Общее решение в области , , , линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений   (3.2) с непрерывными на отрезке коэффициентами и правыми частями равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной системы (3.2): .     3.4. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами   Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений в которой все коэффициенты — постоянные. Проще всего такая система интегрируется   сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа. Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем. Будем искать решение системы (4.1) в виде , (4.2)   где — постоянные. Подставляя в форме (4.2) в систему (4.1), сокращая на и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему   (4.3)     Для того чтобы эта система (4.3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:   (4.4)   Уравнение (4.4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно степени n. Из этого уравнения определяются те значения , при которых система (4.3) имеет нетривиальные решения . Если все корни характеристического уравнения (4.4) различные, то, подставляя их по очереди в систему (4.3), находим соответствующие им нетривиальные решения , этой системы и, следовательно, находим n решений исходной системы дифференциальных уравнений (4.1) в виде   (4.5)   где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом решений линейной однородной системы (4.1)     (4.6)   образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы. Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (4.1) имеет вид   или где — произвольные постоянные. Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.   Пример 4.1. Решить систему Ищем решение в виде . Характеристическое уравнение   или имеет корни   Система (3.3) для определения выглядит так:   (*)   Подставляя в (*) , получаем   откуда .   Следовательно, ,   Полагая в (*) , находим , поэтому   .   Общее решение данной системы:   или
3.5. Решение систем дифференциальных уравнений методом интегрируемых комбинаций.   Этот метод интегрирования систем дифференциальных уравнений (не обязательно линейных) состоит в следующем: посредствам подходящих арифметических операций (например, сложение, вычитание др.) из уравнений заданной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, то есть достаточно просто интегрируемые уравнения вида   ,   где u – некоторая функция от искомых функций x1(t), x2(t),…,xn(t).   Пример 1. Решить систему   (2)   Решение. Перепишем систему (2) в виде   (3)   Сложив почленно, получим     - 72 -   или     откуда     Потенцируя, будем иметь   (4)   Вычитая почленно из первого уравнения (3) второе, получим   или     отсюда   (5)   Разрешая (4) и (5) относительно x и y найдём общее решение системы (2):         где для упрощения записи положено   .   Пример 2.Найти частное решение системы   (6)   удовлетворяющее начальным условиям   (7)   Решение. Умножив первое уравнение на 2 и сложив со вторым, получим   отсюда   (8)   Подставляя (8) в первое уравнение (6), получаем линейное уравнение для определения x:   (9)   Отсюда   (10)   Следовательно,   (11)   Выражение (10) и (11) представляют общее решение системы (6). Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее условию (7), надо в (10) и (11) вместо t, x и y подставить соответственно числа 0, 2 и 5. Получим систему уравнений для определения C1 и C2:   (12)   откуда     Ответ:
3.Системы дифференциальных уравнений. 3.1.Основные понятия и определения. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную, функцию и ее производные. Система m дифференциальных уравнений с m неизвестными называется канонической, если она разрешена относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,   , (1.1) называется нормальной. Если в канонической системе, содержащей производные произвольного порядка   , (1.2)   принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (1.2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы. Например, одно уравнение является частным случаем канонической системы. Положив , в силу исходного уравнения будем иметь . В результате получаем нормальную систему уравнений     эквивалентную исходному уравнению. Определение. Решением нормальной системы (1.1) на интервале (a,b) изменения аргумента t называется всякая система n функций   (1.2)   дифференцируемых на интервале , обращающая уравнения системы (1.1) в тождества по t на интервале (а,b). Задача Коши для системы (1.1) формулируется так: найти решение (1.2) системы при начальных условиях   (1.3)   Теорема 1.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений   (1.1)   и пусть функции определены в некоторой (n+1)-мерной области D изменения переменных . Если существует окрестность точки , в которой функции непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным , то найдется интервал изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (1.1), удовлетворяющее начальным условиям (1.3).   Определение. Система n функций   (1.4)   зависящих от t и n производных постоянных , называется общим решением нормальной системы (1.1) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если 3) при любых допустимых значениях система функций (1.4) обращает уравнения (1.1) в тождества, 4) в области функции (1.4) решают любую задачу Коши. Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных , называются частными решениями. Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений: (1.5) Будем рассматривать систему значений как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат . Решение системы (1.5), принимающее при значения определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку . Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы (1.5).     Задача Коши для системы (1.5) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных найти интегральную кривую, проходящую через данную точку . Теорема 1.1 устанавливает существование и единственность такой кривой.   3.2. Интегрирование нормальных систем   Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной,     Введя новые функции , заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:   (2.1)     одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (2.1).     Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система n уравнений первого порядка (1.1) эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений. Поясним этот метод на примере. Пусть требуется проинтегрировать систему   (2.2).   Дифференцируя первое уравнение системы, имеем откуда, используя второе уравнение, получаем — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной   неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид     В силу первого уравнения системы находим функцию   Найденные функции,как легко проверить, при любых значениях С1, С 2 удовлетворяют заданной системе.   3.3 Системы линейных дифференциальных уравнений. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид   (3.1)   в матричной форме – (3.2)   где   Теорема 3.1. Если все функции и , непрерывны на отоезке , то в достаточно малой окрестности каждой точки , где , выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коми и, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (3.1). Действительно, в таком случае правые части системы (3.1) непрерывны по совокупности аргументов и частные производные по ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [a, b] коэффициентам .   Введем линейный оператор   .   Тогда система (3.2) коротко запишется в виде   (3.3)   Если матрица F — нулевая, т. е. на интервале (а, b), то система (3.1) называется линейной однородной и имеет вид (3.4) Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.   Теорема 3.2. Если X(t) является решением линейной однородной системы L[X] = 0, то сХ(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.   Теорема 3.3. Сумма двух решений u однородной линейной системы уравнений является решением той же системы. Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений является решением той же системы. Теорема 3.4. Если есть решение линейной неоднородной системы , а — решение соответствующей однородной системы , то сумма будет решением неоднородной системы . Действительно, по условию, . Пользуясь свойством аддитивности оператора L, получаем     Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений .   Определение. Векторы , где   ,   называются линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные числа такие, что   (3.5)   при , причем по крайней мере одно из чисел не равно нулю. Если тождество (3.5) справедливо только при , то векторы называются линейно независимыми на . Заметим, что одно векторное тождество (3.5) эквивалентно n тождествам:   (3.5’) Определитель       называется определителем Вронского системы векторов . Определение. Пусть имеем линейную однородную систему   (3.6)   где — -матрица с элементами . Система n решений линейной однородной системы (3.4), линейно независимых на интервале , называется фундаментальной. Теорема 3.5. Определитель Вронского фундаментальной на интервале системы решений линейной однородной системы (3.4) с непрерывными на     - 64 -     отрезке коэффициентами отличен от нуля во всех точках интервала . Теорема 3.6. (о структуре общего решения линейной однородной системы). Общим решением в области , , , линейной однородной системы   (3.7)   с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация n линейно независимых на интервале решений системы (3.7): ( — произвольные постоянные числа). Например, система     имеет, как нетрудно проверить, решения     Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:     Общее решение системы имеет вид   или ( — произвольные постоянные). Квадратная матрица     столбцами которой являются линейно независимые решения системы (3.7), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению . Если — фундаментальная матрица системы (3.7), то общее решение системы можно представить в виде   (3.8)   где —постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (3.8)