 |
Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
|
|
|
|
В случае перпендикулярности двух плоскостей
угол между ними равен 90°, т. е. cos φ=0. Поэтому из формулы 
имеем условие перпендикулярности плоскостей:
Замечание. Это условие получится сразу, если заметим, что скалярное произведение нормальных векторов 
и 
должно быть равно нулю.
Условие параллельности плоскостей в векторной форме может быть записано так: 
где 
и 
обозначают векторы, перпендикулярные к данным плоскостям. Переходя к проекциям, перепишем это условие таким образом:
что равносильно условию
Замечание. Условие без векторов можно установить так в случае параллельности плоскостей.Имеем:
Заменяя здесь косинусы их выражениями через коэффициенты уравнений 
, получим:
откуда находим:
Обратно, если выполнено условие, то плоскости параллельны. В самом деле, уравнения этих плоскостей будут:
где λ обозначает величину каждого отношения равенств. Деля первое уравнение на λ, получим:
Следовательно, выполняются соотношения, и плоскости параллельны.
Кароче, Склифосовский!
(короткая версия билета 52)
Если две плоскости 
и 
заданы общими уравнениями вида:
Под углом между плоскостями и понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между и равен углу между их нормалями, то есть между векторами  1  и 2  . Из формулы  получаем, что косинус угла между плоскостями и равен  .
|
Условие параллельности плоскостей (рис.б) заключается в параллельности нормалей 
, а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения: 
.
Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространств. Каноническое уравнение прямой.
|
|
|
Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо ее фиксированной точки 
и вектора s, параллельного этой прямой. Вектор s, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой, а его проекции на координатные оси — направляющими коэффициентами прямой.
Рис. 86
Пусть прямая L задана ее точкой 
и направляющим вектором 
имеющим направляющие коэффициенты m, n и p.
Рассмотрим произвольную точку 
на прямой. Из рис. 86 непосредственно получаем
(13)
Вектор 
, лежащий на прямой L, параллелен направляющему вектору s, поэтому
(14)
где скалярный множитель называемый параметром, может принимать любое значение в зависимости от положения точки М на прямой. Обозначая радиусы-векторы точек и М соответственно через 
, 
и принимая во внимание формулу (14), запишем уравнение (13) в виде
(15)
Уравнение (15) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.
Представим уравнение (15) в координатной форме. Замечая, что
получим
Уравнения (16) называются параметрическими уравнениями прямой. При изменении параметра t изменяются координаты x, y, z и точка 
перемещается по прямой.
Канонические уравнения прямой
Пусть 
- точка, лежащая на прямой L, и 
- направляющий вектор прямой. Вектор 
,, соединяющий точку М, с переменной точкой 
прямой L, параллелен вектору s (см. рис. 86). Поэтому проекции векторов МХМ и s пропорциональны. Так как 
, то
(17)
Итак, координаты любой точки прямой должны удовлетворять уравнениям (17), которые называются уравнениями прямой, проходящей через данную точку, или каноническими уравнениями прямой.
Рис. 87
В частном случае, когда направляющий вектор s — единичный, 
, уравнения (17) имеют следующий вид:
|
|
|
(18)
|
|
|
