Оценка соответствия нормальному распределения с помощью критерия Пирсона

Этот метод используется для проверки согласия опытного и теоретического распределения, если число испытаний больше 100.

Суть метода заключается в определении критерия Пирсона χ² (хи-квадрат) с последующим сравнением полученного значения с теоретическим. Если , то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии опытного и теоретического распределения принимается, в противном случае – отвергается.

Порядок определения критерия Пирсона:

1. Определяют среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение и S.

2. Определяют отношение , где Х – отклонение от среднего значения: .

3. С помощью специальной таблицы 9 определяют частоту распределения:

, (56)

 

Таблица 9.

 

Х/S	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2113	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0544	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0395	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0023	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001

 

4. Рассчитывают теоретическое значение частот:

 

, (57)

 

где n – общее число испытаний; k – классовый промежуток; S – среднее квадратическое отклонение.

5. Определяют разность между фактической и теоретической частотой распределения:

, (58)

 

Рассчитывают: , (59)

6. Находят критерий Пирсона:

, (60)

7. Определяют число степеней свободы:

 

, (61)

 

где С – число степенной свободы; m – число классов или строк.

8. Задаваясь доверительной вероятностью q, определяют теоретическое значение критерия Пирсона (пользуясь таблицей 10).

Таблица 10.

 

Область теоретических значений χ² при разном числе степеней свободы и разном уровне значимости q

 

q	Степень свободы
0,01	6,6	9,2	11,3	13,3	15,1	16,8	18,5	20,1	21,7	23,2
0,05	3,8	6,0	7,8	9,5	11,1	12,6	14,1	16,9	16,9	18,3
0,10	2,7	4,6	6,3	7,8	9,2	10,6	12,0	14,7	14,7	16,0

 

9. Сравнивают χ_ф² с χ_т². Если ,то гипотеза о соответствии опытного и теоретического распределения принимается, в противном случае – отвергается.

 

Оценка соответствия нормальному распределению с помощью критерия Шапиро и Уилки

Критерий Шапиро и Уилки (W) применяется, если число испытаний меньше 50. Если фактическое значение критерия намного больше теоретического W_ф>>W_m, то гипотеза о соответствии полученных результатов нормальному распределению не отвергается.

Порядок расчета критерия Шапиро и Уилки:

1. Данные измерений располагают в порядке возрастания.

2. Находят среднее значение выборки: , дисперсию выборки: .

3. Рассчитывают коэффициент b по следующей формуле:

, (62)

 

В таблице 11 приведены значения а для разного числа испытаний.

 

Таблица 11.

 

ai
n=10	0,574	0,329	0,214	0,122	0,039
n=20	0,473	0,321	0,257	0,209	0,169	0,138	0,101	0,071	0,042	0,014

 

4. Находят фактическое значение критерия:

, (63)

 

5. Сопоставляют полученное значение критерия W_ф с табличным значением (таблица 12).

Таблица 12.

 

n	3	5	10	20	30	40	50
Wt	0,767	0,762	0,842	0,905	0,927	0,940	0,947

 

Выявление и исключение грубых погрешностей («промахов»)

Грубые погрешности измерений («промахи») могут сильно исказить , σ и доверительный интервал, поэтому их исключение из серии измерений обязательно. Обычно они видны в ряду полученных результатов, но в каждом конкретном случае это необходимо доказывать. Существует ряд критериев для оценки «промахов».

Критерий 3σ. В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью Р≤0,003, малореален и его можно квалифицировать «промахом», т.е. сомнительный результат Х_i отбрасывается, если

, (64)

 

Величины и σ вычисляют без учета Х_i. Данный критерий надежен при числе измерений n ≥20,…, 50.

Если n<20, целесообразно применять к ритерий Романовского.

При этом вычисляют отношение и полученное значение β сравнивают с теоретическим β_т – при выбираемом уровне значимости Р по таблице 13.

Таблица 13.

Уровень значимости β_т=f(n)

Вероятность Р	Число измерений
n=2	n=6	n=8	n=10	n=12	n=15	n=20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

 

Обычно выбирают Р=0,01-0,05, и если β≥β_т, то результат отбрасывают.

Если число измерений невелико (до 10), то можно использовать критерий Шовине. В этом случае «промахом» считается результат Х_i, если разность превышает значение σ, приведенные ниже в зависимости от числа измерений:

1,6σ при n = 3;

1,7σ при n = 6;

1,9σ при n = 8;

2,0σ при n = 10.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: