 |
Игры с природой. Критерии оптимальности.
|
|
|
|
П Р О Г Р А М М А
ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
Для выпускников специальности
Экономическая кибернетика
(математические методы и компьютерное моделирование в экономике)»
(срок обучения: 5 лет)
Программа утверждена Советом
математического факультета
Протокол № 6
от “ 23 “ января 2017 г.
Декан математического факультета ___________ С.П.ЖОГАЛЬ
Гомель 2017
На государственном экзамене выпускник должен продемонстрировать умение систематизировать информационные сведения программы экзамена, знание основных теорем и понятий, понимание взаимосвязей между ними, умение ими пользоваться.
С учетом этих требований экзаменующийся по каждому вопросу билета должен сделать обзор материала, соответствующего формулировке вопросов, сопровождая ответ доказательством отдельных теорем и утверждений.
Математический анализ
1. Числа натуральные, рациональные и действительные. Полнота множества действительных чисел.
2. Последовательности и их сходимость (сходящиеся последовательности в метрическом пространстве; сходящиеся последовательности действительных чисел; теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности; свойства последовательностей действительных чисел, связанные с арифметическими операциями над последовательностями).
3. Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).
4. Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
5. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.
|
|
|
6. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
7. Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
8. Дифференцируемость функций нескольких переменных (частные производные и дифференциалы функций многих переменных; необходимые условия дифференцируемости функций многих переменных; достаточные условия дифференцируемости).
9. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.
10. Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые условия экстремума функции многих переменных.
11. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов; признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).
12. Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле; кратные интегралы).
Дифференциальные уравнения
1. Понятие дифференциального уравнения и его решения. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений.
2. Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.
3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.
4. Метод вариации произвольных постоянных.
5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Уравнения в частных производных
1. Классификация уравнений в частных производных.
2. Метод Фурье на примере решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны.
Дискретная математика
1. Булевы функции. Элементарные булевы функции. Теорема о числе булевых функций.
|
|
|
2. Минимизация булевых функций. Алгоритм построения минимальной дизъюнктивной нормальной формы.
Геометрия и алгебра
1. Комплексные числа, операции над ними. Формула Муавра. Корни из комплексного числа.
2. Основная теорема алгебры. Многочлены с действительными коэффициентами.
3. Теорема Крамера и критерий совместности для систем линейных уравнений.
4. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис векторного пространства.
5. Линейные отображения векторных пространств. Матрица линейного оператора векторного пространства.
6. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой по двум точкам. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми.
7. Уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
2. Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема Бернулли.
3. Функция распределения, ряд распределения, плотность распределения вероятности, их свойства. Закон распределения случайной величины.
4. Выборка, эмпирическая функция распределения, гистограмма относительных частот. Несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.
5. Проверка статистических гипотез. Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона.
6. Случайный процесс, определение, состояния, реализации случайного процесса. Конечномерные распределения. Классификация случайных процессов: гауссовские случайные процессы, процессы с независимыми приращениями, процессы с некоррелированными приращениями, стационарные процессы, марковские процессы.
Методы численного анализа
1. Интерполирование функций (постановка задачи; единственность интерполяционного многочлена; формула Лагранжа).
2. Численное интегрирование (квадратурные формулы трапеций и Симпсона; погрешность).
3. Одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Программирование
1. Язык программирования Паскаль. Стандартные типы данных. Выражения, операнды, операции. Простейший ввод/вывод. Процедуры ввода/вывода. Управляющие операторы.
|
|
|
2. Язык программирования Паскаль. Типы данных, определяемые пользователем. Синтаксис определения типов, описания переменных. Работа с переменными объявленных типов.
3. Язык программирования Паскаль. Условные операторы, операторы цикла.
4. Модели базы данных. Архитектура СУБД. Избыточность данных.
5. Язык программирования С. Динамическая память. Указатели и работа с ними.
6. Язык программирования С. Указатели и массивы. Обработка символьных величин.
7. Язык программирования С++. Понятие и описание классов. Конструкторы и деструкторы классов: назначение, виды и порядок вызова. Создание и уничтожение экземпляров классов.
8. Язык программирования С++. Наследование классов. Управление доступом к членам класса при наследовании. Множественное наследование, виртуальные базовые классы.
Математическая теория финансовых рисков
1. Модель индивидуального риска. Краткосрочное страхование жизни. Определение распределения совокупных исков методом сверток. Аппроксимация распределений совокупных исков нормальным распределением. Нетто-премия и защитная надбавка. Разорение страховой компании.
2. Модель коллективного риска. Применение случайных сумм для описания совокупных исков. Свойства случайных сумм. Основные распределения числа исков. Распределение совокупных исков в модели коллективного риска.
3. Понятие перестрахования рисков. Обмен рисками между страховщиками. Перестрахование чрезмерных потерь страховой компании при краткосрочном страховании жизни. Изменение вероятности разорения страховой компании при перестраховании рисков.
Математическая экономика
1. Отношение предпочтения, его свойства. Функция полезности, ее свойства. Теорема Дебре. Функция полезности производственного потребления, ее свойства. Предельная полезность. Закон Госсена.
2. Задачи оптимального потребления. Оптимальное поведение потребителя в неоклассическом случае и при ограниченном запасе товаров. Геометрическая интерпретация решения задачи потребления в случае двух товаров.
|
|
|
3. Три типа решений задач потребления. Функции спроса, их свойства. Предельная полезность добавочного дохода. Кривые «бюджет-потребление» и «цена-потребление». Уравнение Слуцкого. Теорема Слуцкого.
Методы оптимизации
1. Симплекс-метод. Алгоритм обратной матрицы.
2. Обобщенное и классическое правила Лагранжа для задач с ограничениями в виде равенств.
3. Условие Эйлера для основной задачи вариационного исчисления.
Исследование операций
1. Задача о коммивояжере. Метод ветвей и границ
2. Матричные игры. Верхняя и нижняя цены игры. Основная теорема.
Игры с природой. Критерии оптимальности.
Компьютерные сети
1. Процессы взаимодействия устройств в сети. Модель взаимодействия открытых систем ISO/OSI и стандартные стеки коммуникационных протоколов.
2. Классификация сетей. Требования, предъявляемые к современным вычислительным сетям. Подходы к обеспечению пользователей по доступу к разделяемым ресурсам сети.
|
|
|
