Целью работы является анализ основного уравнения вращательного движения (8).

Целью работы является анализ основного уравнения вращательного движения (8).

Поставленная цель достигается изучением зависимости момента сил М, приложенных к маятнику, от углового ускорения e и графического построения зависимости между этими величинами. Согласно уравнению (8), такая зависимость представляется прямой линией, наклон которой позволяет определить момент инерции J маятника, а отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, даёт величину момента сил трения М_тр.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Используя один из шкивов, имеющий радиус R₁, измерить (с помощью секундомера) время t падения груза массы m с высоты h. Измерения провести для пяти значений массы груза. Результаты наблюдений занести в таблицу.

2. Переместить нить на другой шкив радиуса R₂ и повторить измерения по п. 1. Полученные данные занести в таблицу.

Значения радиусов шкивов R₁ и R₂, высоты падения груза h массm подвеса и грузов указаны в лаборатории.

3. По формулам (7), (5) и (4) в каждом случае найти значения а, e и М. При вычислении ускорения а использовать величину ускорения свободного падения g =9, 819 м/с². Результаты расчётов занести в таблицу.

4. По данным таблицы построить графики зависимости момента сил вращения М (ордината) от углового ускорения e (абсцисса) для каждого из шкивов. Экспериментальные данные, относящиеся к различным шкивам, наносить на график, используя различные обозначения (например, светлые и тёмные кружки). Оценить, являются ли полученные зависимости линейными, как следует из уравнения (8).

5. С помощью графиков для каждого из шкивов определить величины J и М_тр. По полученным двум значениям J и М_трнайти их средние значения и погрешность измерений DJ и DМ_тр.

 

                                                                      ТАБЛИЦА

h, м	R, м	m, кг	t, с	a, м/с2	e, 1/с2	M, Н·м
1, 3	R1=0, 03	0. 1	11. 93
		0. 2	6. 66
		0. 3	5. 48
		0. 4	5. 12
		0. 5	4. 32
1, 3	R2=0, 016	0. 1	13. 17
		0. 2	11. 93
		0. 3	9. 9
		0. 4	8. 08
		0. 5	7. 07

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Момент инерции тела J является одной из основных характеристик тела при его вращательном движении. Он играет роль, аналогичную роли массы m тела при поступательном движении – является мерой инертности вращающегося тела. Однако если масса тела в рамках механики Ньютона постоянна, момент его инерции зависит от расположения оси вращения в нём.

Моментом инерции J материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r от оси вращения, называется величина:

 

J = m·r²                                                  (1)

 

Из этого соотношения видно, что момент инерции J измеряется в единицах кг·м².

Момент инерции тела относительно некоторой оси вращения определяется суммой моментов инерции материальных точек, имеющих массы Dm_i и находящихся на расстоянии r_i от оси, на которые разбивается это тело (рис. 1):

 

                                  (2)

 

В интегральной форме уравнение (3) выглядит следующим образом:

                                    (2a)

Здесь dm – элемент массы тела, находящийся на расстоянии r от оси вращения. Интегрирование производится по объёмуV тела.

Способ разбиения тела на материальные точки очевиден из рис. 1. Если тело имеет правильную симметричную форму, момент инерции J относительно оси OO, проходящей через центр инерции, вычисляется аналитически. Так, например, момент инерции диска, имеющего массу m и диаметр D относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, вычисляется по формуле (рис. 1, случай 1):                                  (3)

Относительно произвольно расположенной оси O’O’ центр инерции вычисляется с использованием теоремы Штейнера:

 

                                (4)

 

Момент инерции тела J относительно любой оси равен моменту инерции этого тела J_o относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной данной, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния d между осями(рис. 1, случаи 2 и 3).

Вычисление момента инерции тела произвольной формы с использованием формул (2) и (2а) оказывается зачастую невозможным. Поэтому на практике для определения J широко применяются различные экспериментальные методы. В основе всех таких методов лежит изучение зависимости некоторой физической величины от момента инерции J тела. Одним из них является метод крутильных колебаний тела, вращающегося на упругой подвеске (рис. 2).

Если к телу, висящему на упругой нити, приложить касательную силу F, т. е. повернуть его на некоторый угол j, то в нити возникнет вращающий момент М = t·j, и, после прекращения действия силы, тело придёт в движение. Величина t является упругой характеристикой материала подвеса при его деформации кручения и может быть названа модулем кручения. Значение t постоянно для данного материала при условии его упругой деформации.  Уравнение вращательного движения тела записывается следующим образом:

 

                                     (5)

 

Поскольку под действием вращающего момента М тело движется к положению равновесия, то в данном случае М = -t·j. Знак “-” в этой формуле означает, что тело движется в сторону, противоположную приложенной к нему силе F, т. е. к положению равновесия. Уравнение (5) с учётом выражения для М принимает вид:

 

                                (6)

или:

                            (6а)

Последнее соотношение представляет собой уравнение свободных гармонических колебаний. Решением его является функция:

 

j = j_o·sin(w_o·t·+ a_o)                                (7)

 

где - циклическая (круговая) частота колебаний, j_о и a_о - постоянные, определяемые из начальных условий. Период крутильных гармонических колебаний, соответственно, равен:

 

                                      (8)

 

Таким образом, задача экспериментального определения момента инерции тела J сводится к измерению периода его крутильных колебаний Т и использованию формулы (8) при условии, что величина модуля кручения t известна и постоянна при данных условиях эксперимента (что выполняется не всегда).

Для нахождения модуля кручения t данного подвеса (нити) достаточно измерить периоды колебания Т ряда тел, моменты инерции J которых известны. Если построить график зависимости Т² от J (рис. 3):

,                        (9)

то видно, что угловой коэффициент k полученной прямолинейной зависимости определяется выражением:

 

    

По величине углового коэффициента k (определяемого как тангенс угла наклона на графике зависимостиТ² от J) можно вычислить модуль кручения материала подвеса t:

 

                               (10)

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: