 |
Дифференциальное уравнение прогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом начальных параметров.
|
|
|
|
Угол поворота сечения (θ) – это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации
Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.
Θ=dy/dx.
Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.
Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.
Перемещение вверх-у>0
Перемещение вниз-y<0
Угол поворота по часовой - q<0. Угол поворота против часовой- q>0.
Кривизна изогнутой оси балки;
1/ρ=M(x)/EJz
Точное уравнение изогнутой оси бруса;
1/ρ=(d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2
Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d2y/dx2=M(x)/EJZ
Закон изменения прогиба по длине балки;
y(x)=∫dx∫(M(x)/EJz)dx+cx+D
Производные постоянные С и D находятся из граничных условий;
а) для консоли:
ус=у(0), Qс=Q(0)=0
в) для двухопорной балки
уа=у(0)=0, ув=у(3а)=0
Пять правил метода начальных парамеров;
1)начало координат всегда помещаем в первую крайнюю левую точку точку оси бруса. Это начало оси Х для всех участков.
2)при составлении выражения М(х) всегда учитывают внешние силовые факторы расположенные слева от поперечного сечения разреза.
3)в выражении М(х) внешний момент МА умножают на скобку (х-а)0, где а –координата сечения в котором приложен момент МА
4)если распределенная нагрузка q обрывается до поперечного сечения разреза, то ее дополняют фиктивной q, а для восстановления действительных условий нагружения вводят в рассмотрение компенсирующую нагрузку q равную по величине но противоположную по направлению.
5)интегрируем не раскрывая скобки.
|
|
|
Геометрические характеристики сечений. Определение координат центров тяжести и моментов инерции сечения сложной формы.
Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади).
Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:
-Sy,Sz-статические моменты площади
-Jy,Jz,Jyz,Jp-моменты инерции поперечного сечения
-WyWz,Wp-моменты сопротивления поперечных сечений
Статический момент площади А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; Sy=∫AZdA, аналогично Sz=∫AydA [СМ³],[М³]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Zцентра тяжести• Α, Sz=Уц.т.•А, и наоборот Zцִт=Sy/A,yц.т..=Sz/A
Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0
Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры
Моменты инерции:
a)Осевые
Jz=∫Ay2dA-момент инерции относительно оси z
Jy=∫Az2dA-момент инерции относительно оси y [M4],[CM4]
b)Центробежный момент инерции.
Главные оси плоской фигуры –Jzy=∫AzydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0,>0,<0
c)Полярный
Jρ=∫Aρ2dA={ρ2=z2+y2}=∫Az2dA+∫Ay2dA=Jy+Jz
Если плоская фигура имеет сложную форму, то ее разбивают на части для которых известны положения центра тяжести и формулы Sz, Sy, тогда Sz,Sy сложные фигуры вычисляются по формулам уЦ.Т. и ZЦ.Т. которые приведены ниже.
где А-площадь поперечного сечения, уЦ.Т. и ZЦ.Т.- это расстояние от осей центров тяжести данной части сложной фигуры, до соответствующего положения начальных осей.
Момент инерции для сложного поперечного сечения;
JZ=åJZi, JУ=åJУi
где JZi=åJZ+(aZZ1)2A, JУi=åJУ+(aУУ1)2А, где JZ,JУ- моменты инерции простых фигур, аУУ1 и аZZ1-расстояния от осей центров тяжести простой фигуры до соответствующей оси центра тяжести поперечного сечения сложной формы.
|
|
|
|
|
|
