Замкнутые системы массового обслуживания

Особенностью замкнутой системы СМО является, то, что длина очереди не ограничивается, так как обслуженные объекты снова могут попадать в систему в виде заявок. Примером такой СМО является зона текущего ремонта АТП, когда автомобиль не может уйти из системы без ремонта. Для замкнутых СМО m→ ∞. В связи с этим формула определения вероятности Р₀ принимает вид

(5.20)

 

Сумма во втором слагаемом в знаменателе представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем

. (5.21)

 

Известно, что сумма геометрической прогрессии равна

(5.22)

 

Для установившегося режима (α = const, m→∞) система работает только при условии

, (5.23)

то есть когда суммарная пропускная способность всех каналов больше параметра потока заявок. Поэтому указанная сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и второе слагаемое равно нулю

→0 (5.24)

С учетом этого, вероятность Р₀ определяется по формуле

(5.25)

 

При исследовании замкнутых систем решается задача оптимизации каналов обслуживания. Например оптимальным числом постов в зоне ТР будет то, при котором наступает минимум суммарных затрат на создание постов и убытков от простоя автомобилей в ремонте (рис. 5.5)

 

(5.26)

где m_пк - среднее число простаивающих (незанятых каналов); M(S) - средняя длина очереди; а_кан - убытки от простоя канала обслуживания в единицу времени; а_авт - убытки от простоя автомобиля (потеря прибыли) в единицу времени.

 

Рис. 5.5. Зависимость удельных затрат на содержание каналов обслуживания (), убытков от простоя в ожидании обслуживания (), и суммарных (), от числа каналов в СМО.

 

Аналогично применяются оптимальные решения и в других областях, подчиняющихся законам систем массового обслуживания. Оптимизация СМО осуществляется и другими методами, в том числе и с помощью метода статистического моделирования.

 

Применение ТМО и метода статистического моделирования для определения оптимальных решений

 

Общие сведения

 

Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса. Он основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой числовых данных для определения статистических оценок параметров процесса. Основой метода статистического моделирования является закон больших чисел.

Под законами больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в которых доказывается сходимость по вероятности статистических характеристик и некоторых постоянных чисел. Так одна из теорем П.Л. Чебышева формулируется так: «При неограниченном увеличении числа независимых испытаний п среднее арифметическое равноточных результатов наблюдений х_i случайной величины х, имеющую конечную дисперсию Д [ х ], сходится по вероятности к математическому ожиданию М [ х ] этой случайной величины.

Теорема Бернулли формулируется так: «При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в одних и тех же условиях частость Р(А) наступления события А сходится к его вероятности Р. Поэтому для определения вероятности какого либо события, например вероятности состояний СМО (Р₀, Р₁, …Р_к) вычисляются частости для одной реализации, а затем для большого числа реализаций (п =1000). Результат усредняют и с некоторым приближением определяют искомые вероятности состояний системы, математическое ожидание числа занятых каналов, длины очереди и др.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: