 |
Практическое занятие 1.9. Отношение следования и равносильности между предложениями. Структура теоремы. Виды теорем.
|
|
|
|
Вопросы и задания для подготовки к занятию:
1. Отношение следования между высказывательными формами.
2. Отношение равносильности между высказывательными формами.
3. Теорема и ее логическая структура.
4. Обратная теорема.
5. Противоположная теорема.
6. Закон контрапозиции.
7. На множестве Х = {2, 3, 4, 5,.6, 7, 8} заданы предикаты: А (х): «х 
4» и В (х): «х 
2». Найдите значения истинности высказываний А (а) и В (а) при каждом из значений а ÎХ. На основании ответов, полученных выше выясните, истинно ли высказывание «из А (х) следует В (х)». Если да, то запишите этот факт, используя символ «Þ». Можно ли утверждать, что истинно высказывание «Из В (х) следует А (х)»? Почему?
8. Известно, что высказывания: а) А (х)Þ В (х), б) В (х) ÞА (х) истинны. В каком отношении находятся множества ТА и ТВ?
9. На множестве Х = { 1, 2, 3,..., 9} заданы предикаты А (х): «х > 2», В (х): «х > 5», С (х): «х - однозначное число». Сделайте соответствующие записи и докажите, что на множестве Х: а) предикат А (х) следует из предиката В (х); б) предикат С (х) следует из предиката А (х); в) из предиката В (х) следует предикат А (х).
Задания для самостоятельной работы:
1. В классе имеются два отличника: Попова и Смирнов - и пять спортсменов: Попова, Деменченко, Смирнов, Виноградов, 3иниченко. Следует ли предложение «Учащийся класса - спортсмен» из предложения «Учащийся класса -отличник»?
2. Докажите, что каждое из нижеприведенных утверждений ложно:
а) если треугольник равнобедренный, то он равносторонний;
б) если треугольник прямоугольный, то он равнобедренный;
в) если треугольник равнобедренный, то он остроугольный.
3. Сформулируйте следующие высказывания в виде «если..., то...»:
а) А - достаточное условие для В;
|
|
|
б) А - необходимое условие для В;
в) В - достаточное условие для А;
г) В - необходимое условие для А.
4. Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:
а) Число п - натуральное, следовательно, и 15а - натуральное числе
б) Число 15а - натуральное, следовательно, а - натуральное число
в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник.
г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник - прямоугольник.
д) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.
е) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.
5. Равносильны ли следующие предложения А (х) и В(х), если:
а) А(х) - «число делится на 9», В(х) - «сумма цифр в записи числа делится на 9».
б) А(х) - «каждое слагаемое суммы делится на 4», В(х) - «сумма делится на 4».
6. Докажите, что предложение «в прямоугольнике F диагонали взаимно перпендикулярны» и «прямоугольник F - квадрат» равносильны. Утверждения о равносильности сформулируйте тремя различными способами.
7. Вставьте слова «и» либо «или» так, чтобы следующие высказывания были истинными:
а) а×b=0 Û a=0...b=0;
б) а×b ¹ 0 Û а ¹0...b ¹ 0;
в) хÎА Ç В Û хÎА…хÎВ;
г) хÏА Ç В Û хÏА…хÏВ.
8. Какие из следующих предложений можно переформулировать, употребив слова «необходимо» либо «достаточно»:
а) Если в четырехугольнике все углы равны, то четырехугольник является прямоугольником.
б) Сумма двух четных чисел есть число четное.
в) Всякое число, которое делится на 3 и на 5, делится на 15.
9. Какие из нижеприведенных высказываний истинные:
а) Для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6.
б) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно делилось на 6
в) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 10.
|
|
|
г) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5.
10. В следующих теоремах выделите условие и заключение и сформулируйте их в виде: «если..., то...»:
а) во всяком треугольнике против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны,
б) перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых есть также перпендикуляр к другой;
в) сумма величин углов треугольника равна 180°;
г) сумма величин смежных углов равна 180°;
д) параллелограмм имеет центр симметрии.
11. Выразите следующие теоремы без использования союзов «если..., то...»:
а) если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность;
б) если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны;
в) если стороны параллелограмма конгруэнтны, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
Сформулируйте для каждой из этих теорем обратную, противоположную и обратную противоположной. установите, какие из этих теорем истинны.
12. Верна ли следующая теорема: если произведение двух целых чисел делится на 15, то хотя бы один из сомножителей делится на 15? Верна ли обратная теорема?
13. Для каждой из следующих теорем сформулируйте обратную, противоположную и обратную противоположной теоремы. Выясните, какие из этих теорем истинны:
а) если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность,
б) если сумма цифр какого-нибудь числа делится на 9, то это число делится на 3.
14. Пользуясь законом контрапозиции, докажите следующие теоремы:
а) Если р ×q - нечетное число, то р и q нечетны (р, q Î N).
б) Если п2 + т2 ¹ 0, то т¹ 0 или п ¹ 0.
15. Покажите, что следующие теоремы являются конъюнкцией двух теорем:
а) На 5 делятся те и только те числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5.
б) Две прямые плоскости параллельны тогда и только тогда, когда они перпендикулярны одной и той же прямой.
в) для того чтобы в прямоугольном треугольнике катет составлял половину гипотенузы, необходимо и достаточно, чтобы угол, лежащий против этого катета, был равен 30°.
|
|
|
