Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Центральные кривые второго порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

Рассмотрим уравнение кривой второго порядка без члена с произведением х и у

(1-25)

Пологая, что А ≠ 0 и С ≠ 0 и дополняя до полных квадратов получим:

Полагая

(1-26)

имеем:

(1-27)

Таким образом точка О'(х₀, у₀) представляет собой центр симметрии кривой (1-27) (вспомним окружность).

Параллельные осям координат Оx и Оy прямые у = у₀ и х = х₀

являются осями симметрии кривой (1-15).

И если предположить, что х₀ = 0 и у₀ = 0, то наше уравнение примет вид:

(1-28)

Кривая второго порядка (1-28) называется эллипсом (точнее принадлежит эллиптическому типу), если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки.

Т.е. А▪С > 0 (1-29)

Для определённости предположим А > 0 и С > 0

Возможны три случая:

1) При Δ › 0 мы имеем действительный эллипс

(1-30)

это каноническое уравнение эллипса

где (1-31)

Рис. 1.21. Эллипс

2) При Δ = 0, кривая (1-28) вырождается в точку. Это случай вырожденного эллипса.

3) При Δ ‹ 0, кривая (1-28) не имеет действительных точек, и её условно называют мнимым эллипсом.

Кривая второго порядка (1-28) называется гиперболой (точнее, кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е. A•С ‹ 0.

Предположим А › 0, тогда С ‹ 0

Возможны три случая:

1) Δ › 0, имеем гиперболу (1-32)

– каноническое уравнение гиперболы,

здесь: - действительная полуось, - мнимая полуось.

Рис. 1.22. Гипербола

- асимптоты гиперболы.

2) Δ = 0, получаем пару пересекающихся прямых (вырождённая гипербола)

3) Δ ‹ 0, получаем гиперболу

(1-33)

с полуосями и ;

Если а′ = а и b′ = b, то гиперболы (1-32) и (1-33) называются спряжёнными.

Пример: определить вид и расположение кривой

Дополняя до полных квадратов имеем

откуда

следовательно, это эллипс с центром в точке

, .

Билет 22.

Классификация кривых параболического типа.

Если:

a. , то общее уравнение задает кривую параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем:
.Обозначим: имеем:
- канонический вид параболы.

b. , то - кривая параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем:
.Обозначим: - имеем:
- канонический вид параболы.

Билет 23

Центральные поверхности второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды, конус. Канонические уравнения. Исследования по сечению.

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2)

Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2), равно a11 • а22 • a33, то коэффициенты a11,а22, a33 удовлетворяют условию:

Возможны следующие случаи:

Д 1°. Коэффициенты a11,а22, a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a11,а22, a33, а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a11,а22, a33 противоположен знаку коэффициента а44, то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Каноническое уравнение:

- трехосный эллипсоид;

- эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

- эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

- эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

Д 2°. Из четырех коэффициентов a11,а22, a33, а44 два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Каноническое уравнение:

a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Горловой эллипс:

Асимптотический конус:

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

Д 3°. Знак одного из первых трех коэффициентов a11,а22, a33, а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда:

Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Каноническое уравнение:

a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Асимптотический конус:

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

Д 4°. Коэффициент а44 равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.

Если коэффициенты a11, а22, a33 одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a11, а22, a33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Обозначим

соответственно через а2, b2, с2. Тогда уравнение (2) можно записать в виде:

Каноническое уравнение:

a = b - конус вращения (прямой круговой).

Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).

Билет 24.

Параболоиды и цилиндры второго порядка. Канонический вид и исследование посечению.

Эллиптический параболоид (рис. 4.22)

Каноническое уравнение: