 |
Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что
|
|
|
|
при 
и 
.
Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:
§ заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
§ транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
§ разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.
Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают создание этой теоремы в 1772 году [1] , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.
Формулировка
Для начала, введём несколько определений.
Пусть A = (aij) — матрица размера 
, и пусть выбраны любые k строк матрицы A с номерами 
и любые k столбцов с номерами 
.
Определитель матрицы, получаемой из A вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором k -го порядка, расположенным в строках с номерами 
и столбцах с номерами 
. Он обозначается следующим образом:
А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору 
:
где 
и 
— номера невыбранных строк и стобцов.
Алгебраическое дополнение минора определяется следующим образом:
где 
, 
.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема Лапласа
Пусть выбраны любые k строк матрицы A. Тогда определитель матрицы A равен сумме всевозможных произведений миноров k -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.
где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов 
|
Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать k столбцов из n, то есть биномиальному коэффициенту 
.
|
|
|
Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.
Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть A = (aij) — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:
Разложение по i -й строке:
Разложение по j -му столбцу:
|
где Aij — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j. Aij также называют алгебраическим дополнением к элементу aij.
Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать i -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.
Следствие 2
Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.
Доказательство.
Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0. С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матри- цы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.
|
|
|
|
|
|
