Задачи оптимального управления

Традиционно со времен Эйлера физика и механика, а затем и практика машиностроения были основными «поставщиками» вариационных задач. Однако в конце 50-х годов новое поле деятельности было открыто не традиционными интересами чистой математики, а рутинной инженерной практикой.

Вывод на орбиту некоторого груза требовал огромных затрат энергии. Поэтому весьма актуальной стала проблема выбора такой траектории стартового участка космической ракеты, при движении вдоль которой с той же затратой топлива можно было бы вывести на орбиту лишний килограмм полезного груза.

Первым, кто понял суть этой проблемы, был Д.Е. Охоцимский. Еще в 1946 году, будучи студентом, он опубликовал посвященную ей работу. Оказалось, что задачи выбора оптимальной траектории выходят за рамки классического анализа (того вариационного исчисления, которое было создано Эйлером и Лагранжем) и требуют разработки новых математических подходов. И он уже содержался в знаменитой статье Охоцимского. Но решающий шаг сделал не он.

О статье Охоцимского помнят только отдельные специалисты. Дело в том, что лет через пять после этой работы Л.С. Понтрягин опубликовал свой принцип максимума. Им была предложена чрезвычайно простая и элегантная конструкция, позволяющая сводить эти нестандартные задачи анализа к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – задачам трудным, но все же решаемым классическими методами численного анализа.

Так, например, если движение ракеты описывается ее координатами и , проекциями вектора скорости на координатные оси и , массой , величиной тяги и углом между направлением тяги и осью , то управление траекторией ракеты осуществляется за счет регулирования величины и направления силы тяги двигателя. Величины и – это управляющие параметры, через и обозначены суммарные проекции силы тяжести, сопротивления атмосферы и т. д.

В технических задачах обычно возникает вопрос об отыскании наиболее экономной программы работы модели. В случае движения ракеты чем меньшее количество топлива будет израсходовано, тем более экономичной будет программа. Это означает, что управление и должно быть выбрано из условия минимума интеграла вида:

.

Функция , которая удовлетворяет всем ограничениям и дает минимальное значение интегралу , называется оптимальным управлением.

Таким образом, состояние объекта задается в каждый момент времени числами , которые называются фазовыми координатами объекта. Движение объекта (с математической точки зрения) заключается в том, что его состояние с течением времени изменяется, то есть являются переменными величинами. Это движение объекта происходит не самопроизвольно – им можно управлять. Для этого объект снабжен «рулями», положение которых характеризуется в каждый момент времени числами . Эти числа называются управляющими параметрами. Рулями можно «манипулировать» – менять с течением времени управляющие параметры по своему желанию. Иначе говоря, мы можем выбрать функции , которые описывают изменение управляющих параметров с течением времени. Что же касается функций , то они уже не в полной мере зависят от нашего желания. Мы будем предполагать, что, зная фазовое состояние объекта в начальный момент времени и выбрав управляющие функции , мы сможем математически точно рассчитать поведение объекта для всех , то есть сможем найти функции , характеризующие изменение фазовых координат с течением времени. Таким образом, на изменение фазовых координат мы можем воздействовать в той или иной мере, выбирая по своему усмотрению управляющие функции .

Величины удобно считать координатами некоторого вектора , который также называют управляющим параметром. Точно так же величины удобно рассматривать как координаты некоторого вектора (или точки) . Эту точку называют фазовым состоянием объекта. Каждое фазовое состояние является точкой -мерного пространства с координатами . Это -мерное пространство называют фазовым пространством рассматриваемого объекта.

Чтобы полностью задать движение объекта, надо задать его фазовое состояние в начальный момент времени и выбрать управляющие функции , то есть выбрать векторную функцию

.

Эту функцию мы будем называть управлением. Задание начального фазового состояния и управления однозначно определяет дальнейшее движение объекта. Это движение заключается в том, что фазовая точка , изображающая состояние объекта, с течением времени перемещается, описывая в фазовом пространстве некоторую линию, называемую фазовой траекторией рассматриваемого движения объекта. Пару векторных функций , то есть управление и соответствующую фазовую траекторию , мы будем называть в дальнейшем процессом управления.

Итак, получаем следующее описание.

Состояние управляемого объекта в каждый момент времени характеризуется фазовой точкой . На движение объекта можно воздействовать при помощи управляющего параметра . Изменение величин и с течением времени мы называем процессом управления; процесс состоит из управления и фазовой траектории . Процесс полностью определен, если задано управление и начальное фазовое состояние .

Часто встречается следующая задача, связанная с управляемыми объектами.

В начальный момент времени объект находится в фазовом состоянии . Требуется выбрать такое управление , которое переведет объект в заранее заданное конечное фазовое состояние (отличное от ). При этом обычно требуется, чтобы процесс перехода из начального фазового состояния в требуемое конечное состояние был в определенном смысле «наилучшим», например, чтобы время перехода было наименьшим или чтобы энергия, затраченная в течение переходного процесса, была минимальной и т. д. Такой «наилучший» процесс перехода называется оптимальным процессом. Если речь идет о наименьшем времени перехода, то такие процессы называются оптимальными в смысле быстродействия. Иначе говоря, процесс, в результате которого объект переходит из точки в точку , называется оптимальным в смысле быстродействия, если не существует процесса, переводящего объект из в за меньшее время ().