Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Точки в октантах пространства




ЧАСТЬ 1. Начертательная геометрия

Раздел 1. Основные понятия

Определения

 

В начертательной геометрии изучаются геометрические основы построения изображений на плоскости (листе бумаги) предметов, имею­щих три измерения, а также способы решения задач из различных обла­стей техники с помощью геометрических построений.

К основным формообразующим элементам пространства относятся точка, прямая и плоскость. Ими определяются простые трехмерные фигуры, из которых создаются сложные объекты пространства. Точки обозначают прописными буквами: A, B, C … или арабскими цифрами: 1, 2, 3 …, прямые – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c …, плоскости – прописными буквами греческого алфавита: G, L, P, S, F, Y, W.

Между элементами пространства существуют следующие отношения:

- тождественность (совпадение) - º [ А º В ];

- инцидентность (принадлежность) - Î[ A Î a ];

- параллельность - ½½[ a ½½ b ];

- перпендикулярность - ^ [ a ^ S ].

Над элементами пространства можно выполнять следующие операции:

- соединение - È [ A È B = a ];

- пересечение - Ç [ m Ç n = k ].

Начертательная геометрия базируется на методах проекций.

 

Метод проекций

 

Аппарат проецирования включает в себя проецирующие лучи, проецируемый объект и плоскость, на которой получается изображение объекта.

Различают следующие виды проецирования:

- центральное,

- параллельное

- ортогональное (частный случай параллельного проецирования).

При центральном проецировании проецирующие лучи исходят из одной точки, называемой центром проецирования.

 

 

Рис. 1. Пример центрального проецирования

П1 – плоскость проекций;

S – центр проецирования;

А, В, С – точки пространства;

А1, В1, С1 - центральные проекции на плоскости П1;

SАА1, SВВ1, SCC1 – проецирующие лучи.

 

Параллельным проецированием называется такое проецирование, при котором центр проекций S удален в бесконечность, а все лучи становятся параллельными.

 

 

Рис. 2. Пример параллельного проецирования


Частный случай параллельного проецирования – ортогональное проецирование. Проецируемые лучи перпендикулярны плоскости проекций (l ^ П1).

 

Рис. 3. Пример ортогонального проецирования

П1 – плоскость проекций;

А, В, С – точки пространства;

А1, В1, С1 - ортогональные проекции на плоскости П1;

АА1, ВВ1, СС1 (l)– проецирующие лучи.

 

Основные свойства ортогонального проецирования

 

1) Проекция точки есть точка (А→А1).

 

Рис. 4. Точки и их проекции

 

2) Проекция прямой есть прямая (а→а1).

½ АВ ½→½ А1В1 ½

 

Рис. 5. Прямая и ее проекция

 

На рис. 6 представлен частный случай: проекцией проецирующей прямой является точка.

½ АВ ½→½ А1 = В1 ½

 

 

Рис. 6. Проецирование прямой, перпендикулярной плоскости проекций

 

Проекция прямой определена, если известны хотя бы две ее точки.

3) Проекцией плоскости является плоскость. Плоскость состоит из бесконечного множества точек.

4) Проекции параллельных прямых есть параллельные прямые.

5) Если точка в пространстве принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой.

 

 

Рис. 7. Принадлежность точек прямой

 

6) Проекция отрезка всегда меньше самого отрезка, т. к. отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция катетом.

 

Рис. 8. Отрезок и его проекция

АВ – отрезок прямой в пространстве;

α - угол наклона к плоскости проекций

 

7) Прямой угол проецируется в прямой, если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.

 

 

Рис. 9. Проецирование прямого угла

Обратимость чертежа

 

Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными.

Способы получения обратимого чертежа:

1) Аксонометрия – проекция оригинала на плоскость вместе с жестко связанной с ним системой координат.

2) Метод Г. Монжа (комплексный чертеж).

 

Комплексный чертеж Монжа

 

Суть метода Монжа заключается в проецировании различных геометрических единиц - точек, прямых, фигур и поверхностей на две или три взаимно перпендикулярные плоскости, которые называются:

- горизонтальная (П1);

- фронтальная (П2);

- профильная (П3).

Линии пересечения плоскостей проекций называют осями проекций: оси ОХ, ОY и ОZ.

При проецировании точки А на все три плоскости проекций получается три ее проекции: горизонтальная - А1, фронтальная - А2 и профильная - А3.

 

Рис. 10. Метод Монжа

 

Для построения чертежа или эпюра Монжа пространственное или наглядное изображение нужно преобразовать в плоскостное. При этом плоскости проекций разворачиваются: фронтальная плоскость остается на месте, горизонтальная опускается вниз до совмещения с фронтальной плоскостью, а профильная разворачивается вправо до совмещения с фронтальной. Ось ОY раздваивается – она участвует в образовании горизонтальной плоскости проекций и необходима для формирования профильной плоскости проекций.

 

Рис. 11. Переход к плоскостному изображению

 

Расстояние от точки А до плоскости П1 будет выражаться координатой Z, расстояние от точки А до плоскости П2 - координатой Y, а до плоскости П3 - координатой Х. Координаты указывают в миллиметрах, отсчет ведется от начала координат - 0.

Все три проекции точки взаимосвязаны между собой. Линии, соединяющие проекции точки А, называются линиями связи. Линии связи всегда перпендикулярны осям проекций.

 

 

Рис. 12. Эпюр Монжа точки А с координатами (13, 11, 16)

 

 

Точки в октантах пространства

 

Октант – восьмая часть пространства, которая получается делением пространства уже известными нам плоскостями проекций: горизонтальной, фронтальной и профильной. Оси ОХ, ОY, ОZ показаны как в положительном направлении, так и в отрицательном (рис. 13).

 

Рис. 13. Нумерация октантов

 

Точка в поле проекций

 

Если у точки одна из трех координат X, Y или Z равна нулю, то точка будет лежать в горизонтальном, фронтальном или профильном полях проекций.

Рассмотрим точку А. Точка лежит в профильном поле проекций и совпадает со своей профильной проекцией. Фронтальная проекция точки А лежит на оси OZ, а горизонтальная на оси OY.

 

 

Рис. 16. Наглядное изображение точки А (0, 15, 40)

 

 

Рис. 17. Эпюр точки А (0, 15, 40)

 

Точка лежит сразу в двух плоскостях проекций, если принадлежит одной из трех осей проекций. Так, если точка А лежит на оси, например, OZ, то она будет совпадать со своей фронтальной и профильной проекциями, а ее горизонтальная проекция совпадет с началом координат.

 

 

 

Рис. 18. Наглядное изображение точки А (0, 0, 40)

 

 

 

 

Рис. 19. Эпюр точки А (0, 0, 40)

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...