 |
5.4. Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.
|
|
|
|
5. 4. Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.
Якщо існує декілька джерел коливань, то, згідно з дослідними фактами, хвилі, що виникають, поширюються незалежно, накладаючись одна на одну. Інакше кажучи, має місце принцип суперпозиції, який полягає в тому, що зміщення частинки, яке виникло внаслідок накладання декількох хвиль, являє собою геометричну суму зміщень, зумовлених кожною з цих хвиль окремо.
Розглянемо випадок, коли в дану точку простору приходять дві гармонічні хвилі з амплітудами А1 та А2. Результуюча амплітуда може бути легко знайдена методом векторних діаграм і виражається формулою:
(5. 43)
де j1-j2 - різниця фаз двох хвиль в даній точці, що розглядається. Можливі два випадки:
1. Різниця фаз j1 - j2 змінюється з часом – такі хвилі і джерела, що їх збуджують, мають назву некогерентних
2. Різниця фаз j1 - j2 не залежить від часу – в цьому випадку хвилі і джерела називаються когерентними. Когерентними можуть бути тільки хвилі однієї частоти, які мають назву “монохроматичних”.
При накладанні когерентних хвиль спостерігається їх взаємне підсилення в одних точках простору та послаблення в інших точках (в залежності від значення різниці фаз хвиль в цих точках). Явище стійкого (незалежного від часу) перерозподілу амплітуд хвиль при їх накладанні одна на одну має назву інтерференції хвиль. При накладанні некогерентних хвиль амплітуда коливань в будь – якій точці простору змінюється з часом, таким чином, стійка інтерференційна картина не виникає.
Для прикладу розглянемо інтерференцію двох хвиль однакової частоти та амплітуди, які рухаються назустріч одна одній. Таке явище може спостерігатись при зустрічі хвилі, що падає на деяку перешкоду, та відбитої від перешкоди хвилі. Нехай зміщення, зумовлені цими хвилями в точці з координатою х (як і раніш, ми розглядаємо плоскі хвилі, що поширюються уздовж осі х ) в момент часу t
|
|
|
,
.
Результуюче зміщення знайдемо за принципом суперпозиції, як суму амплітуд:
.
Далі, використовуючи відоме тригонометричне співвідношення для суми двох косинусів, одержимо
. (5. 44)
Таким чином, в кожній точці з заданою координатою x мають місце гармонічні коливання з сталою амплітудою 
. (5. 45)
В тих точках простору, для яких виконується умова 
де n = 0, ±1, ±2, … (вони мають назву пучностей), коливання відбуваються з максимальною амплітудою 2 А0, а в точках, для яких 
, де n = 0, ±1, ±2, … (точки називаються вузлами), коливання взагалі не відбуваються. Положення вузлів та пучностей з часом не змінюється, таким чином, при накладанні двох зустрічних когерентних хвиль виникає стояча хвиля (яка, суворо кажучи, навіть хвилею не є, оскільки в просторі не переміщується та енергію не переносить). З попередніх виразів з урахуванням визначення хвильового числа одержимо координати пучностей
. (5. 46)
Відстань між сусідніми пучностями дістанемо, знайшовши різницю координат, які описуються останньою формулою, тобто
(5. 47)
Таким чином, відстань між двома сусідніми пучностями дорівнює половині довжини падаючої хвилі.
Аналогічно запишемо координати вузлів
(5. 48)
З останнього виразу знайдемо відстань між двома сусідніми вузлами, яка буде дорівнювати половині довжини хвилі, як і для сусідніх пучностей.
5. 5. Інтерференція світлових хвиль.
|
|
|
Розглянемо важливий з практичної точки зору випадок інтерференції – інтерференцію світлових хвиль. Відомо, що інтерференційна картина може спостерігатись при накладанні монохроматичних (тобто з однаковими частотами) когерентних, тобто при сталій різниці фаз, хвиль. З іншого боку, з повсякденного досвіду нам відомо, що при накладанні світлових хвиль від двох звичайних джерел світла, наприклад, двох ламп розжарювання, спостерігати інтерференційну картину не вдається, тобто такі джерела не є когерентними. Причина некогерентності цих джерел полягає в самому механізмі випромінювання світла атомами. Збуджений атом випромінює світло у вигляді відносно коротких (порядку 10-8 с) імпульсів – цугів хвиль, що мають вигляд
.
Після цього атом переходить в основний, незбуджений стан, далі знову збуджується і випромінює новий цуг хвиль, фаза j/ якого ніяким чином не зв’язана з фазою попереднього цугу. Якщо на екран потрапляє світло від двох різних джерел, то різниця фаз неупорядковано змінюється від одного цугу до іншого, таким чином, що інтерференційна картина буде спостерігатись лише на протязі часу, який не перевищує тривалість одного цугу, а насправді навіть значно менше. Проміжок часу, на протязі якого випадкові зміни амплітуди та фази світлової хвилі можна вважати несуттєвими, має назву часу когерентності t. Відстань 
, яку світло проходить за час когерентності, називають довжиною когерентності. Зрозуміло, що навіть в тому випадку, коли для спостерігання інтерференції використовується світло від одного джерела, яке приходить в дану точку за різними шляхами, інтерференційна картина буде спостерігатись лише при умові, що різниця відстаней, що світло проходить за цими шляхами, не перевищує довжини когерентності. Слід також зауважити, що ні одне реальне джерело не дає монохроматичного світла, тобто суворо з однаковою частотою w. Однак, можна довести, що якщо відхилення від суворої монохроматичності Dw < < w (такі хвилі мають назву квазімонохроматичних), то на протязі проміжків часу, які менші часу когерентності, ними можна нехтувати, не роблячи різниці між монохроматичними та квазімонохроматичними хвилями.
Розрахуємо інтерференційну картину від двох (рис. 6. 1) когерентних джерел. Розглянемо інтерференцію хвиль, що випромінюються двома когерентними джерелами О1 та О2. Ці хвилі потрапляють далі на екран S. Якщо в момент випромінювання хвилі джерелом О1 її фаза дорівнювала a1, то в точці S вона буде визначатись за формулою
|
|
|
, де L1 – відстань між точками О1 та S (дійсно, на відрізку О1S укладається L1/l1 хвиль, а на довжині хвилі l фаза змінюється на 2 p ). Аналогічно фаза хвилі, що випромінюється джерелом О2, в точці S 
. Таким чином, різниця фаз двох хвиль в точці S дорівнює
(5. 49)
Частоти n1 і n2 обох хвиль, безумовно, однакові, оскільки ми розглядаємо когерентні джерела, але це не означає, що повинні бути рівними їх довжини хвиль l1 та l2. Необхідно враховувати можливість того, що хвилі можуть поширюватись в середовищах з різними показниками заломлення. З урахуванням того, що показник заломлення середовища визначається як 
, ми одержимо:
(5. 50)
де l0 – довжина хвилі в вакуумі. Таким чином, вираз для різниці фаз може бути представлений у вигляді
, (5. 51)
де величина
(5. 52)
носить назву оптичної різниці ходу розглядуваних хвиль. Оптична різниця ходу хвиль до-рівнює геометричній різниці ходу, в якій усі відстані, що проходить світло, помножені на відповідні показники заломлення. Далі, якщо хвилі випромінюються одним джерелом, то a1 = a2 та 
.
Максимуми інтерференційної картини спостерігаються, як нам вже відомо, при умові, що хвилі приходять в точку спостереження в однакових фазах, тобто 
, де k – ціле число. Звідси одразу випливає умова максимуму при інтерференції
. (5. 53)
Максимум інтерференції спостерігається в тому випадку, якщо оптична різниця ходу хвиль променів дорівнює парному числу півхвиль (цілому числу довжин хвиль).
Відповідно, умова мінімуму при інтерференції визначається умовою, що хвилі при інтерференції приходили в точку спостереження у протилежних фазах, тобто щоб 
, звідки виходить
|
|
|
. (5. 54)
Мінімум інтерференції спостерігається в тому випадку, якщо оптична різниця ходу хвиль променів дорівнює непарному числу півхвиль (півцілому числу довжин хвиль).
|
|
|
