 |
Подгруппа. Критерий подгруппы.
|
|
|
|
Определение.Пусть Г — группа c операцией ° и не пустое подмножество HÌГ, тогда H называют подгруппой группы Г, если H —группа относительно индуцированной операции °,т.е. выполняются условия:
1) H устойчиво относительно индуцированной операции °;
2) В H должен быть нейтральный элемент относительно индуцированной операции °;
3) В H должен быть симметричный элемент относительно индуцированной операции ° для любого hÎH.
Запись H £ Г означает, что H — подгруппа группы Г.
Примеры.
1) Г = (Z,+), H = {2Z,+}В этом случае обозначается H<Г.
2) SL(n,P) < GL(n,P).
Теорема (критерий подгруппы).Пусть Г — группа относительно операции°, ƹHÎГ. H является подгруппой тогда и только тогда, когда "h1,h2ÎH выполняется условие h1°h2'ÎH (где h2' — симметричный элемент к h2).
Доказательство.
Необходимость: Пусть H — подгруппа (нужно доказать, что h1°h2'ÎH). Возьмем h1,h2ÎH, тогда h2'ÎH и h1°h'2ÎH (так как h'2 — симметричный элемент к h2).
Достаточность: (надо доказать, что H — подгруппа).
Раз H¹Æ, то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hÎH, n=h°h'ÎH, т.е. нейтральный элемент nÎH. В качестве h1 берем n, а в качестве h2 возьмём h тогда h'ÎH Þ " hÎH симметричный элемент к h также принадлежит H.
Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.
Возьмём h1, а в качестве h2 возьмём h'2 Þ h1°(h2') ' ÎH, Þ h1°h2 ÎH.
Пример.
Г=Sn, n>2, α — некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= Sαn ={fÎ Sn,f(α)=α}, при действии отображения из Sαn α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h1,h2ÎH. Произведение h1.h2'ÎH, т.е H — подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.
КОЛЬЦО. СВОЙСТВА КОЛЕЦ.
|
|
|
Определение.Пусть К непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. К называется кольцом, если выполняются следующие условия:
1 ) К — абелевагруппа относительно сложения;
2) умножение ассоциативно;
3 ) умножение дистрибутивно относительно сложения.
Если умножение коммутативно, то К называют коммутативным кольцом. Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К называют кольцом с единицей.
Примеры.
1) ,+,´ — коммутативное кольцо с единицей.
2) 2,+,´ — коммутативное кольцо без единицы.
3) Pn,+, ´ — не коммутативное кольцо с единицей.
Простейшие свойства колец.
1. Так как К абелева группа относительно сложения, то на К
переносятся простейшие свойства групп.
2. Умножение дистрибутивно относительно разности:
a(b-c)=ab-ac.
Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то
a(b-c)=ab-ac.
3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,
что a=0 
b=0.
Например, в кольце матриц размера 2´2, существуют элементы не
равные нулю такие, что их произведение будет нуль:
,где 
— играет роль нулевого элемента.
4. a·0=0·а=0.
Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0.
5. a(-b)=(-a)·b=-ab.
Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.
6. Если в кольце К существует единица и оно состоит более, чем из
одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный
элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении.
Доказательство (от противного). Предположим противное. Пусть 1=0.
Возьмем " aÎ К, тогда a=a*1=a*0=0Þa=0. Значит кольцо состоит из
одного элемента. Противоречие с условием теоремы, ибо,|K|≥2.
7. Пусть К кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов
кольца образуют группу относительно умножения, которую называют
мультипликативной группой кольца K и обозначают K*.
Доказательство.
К* ¹Æ. Пусть aÎ K* и bÎ K*. Докажем, что abÎ K*. В самом деле
|
|
|
(ab)-1=b-1a-1ÎK*, ибо a-1,b-1ÎK*.
ПОЛЕ. СВОЙСТВА ПОЛЯ
Определение.Коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором любой отличный от нуля элемент обратим, называется полем.
Простейшие свойства поля
1. Т.к. поле — кольцо, то все свойства колец переносятся и на поле.
2. В поле нет делителей нуля,т.е. если ab=0,то a=0 или b=0.
Доказательство.
Если a¹0,то $ a-1. Рассмотрим a-1 (ab)=(a-1 a)b=0, а если a¹0,то b=0, аналогично если b¹0
3. Уравнение вида a´x=b, a¹0, b – любое, в поле имеет единственное решение x= a-1b, или х=b/a.
Решение этого уравнения называется частным.
Примеры.
1)PÌC, P — числовое поле.
2)P={0;1};
3) P={0;1;2}.
ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ
Не все свойства числовых полей сохраняются в случае произвольного поля. Так, складывая число 1 само с собою несколько раз, т.е. беря любое целое положительное кратное единицы, мы никогда не получим нуля. Если же мы будем брать целые кратные единицы в каком-либо конечном поле, то среди них непременно будут равные, т.к. это поле обладает лишь конечным числом различных элементов. Если все целые кратные единицы поля P являются различными элементами поля P, т.е. k°1¹m°1(здесь и далее за 1 обозначен элемент поля = единице) при k¹m, то говорят, что поле P имеет характеристику нуль (char P= 0);таковы, например, все числовые поля. Если существуют такие целые k и m, что k>m, но в P имеет место равенство k°1=m°1, то (k-m) °1=0, т.е. в P существует такое положительное кратное единицы, которое оказывается равным нулю. В этом случае P называется полем положительной характеристики. Характеристикой поля в случае поля положительной характеристики называют наименьшее натуральное р, что единица сложенная р раз дает 0.
Cвойства характеристики
1) Если char P= p>0, то p — простое число.
Доказательство (от противного).
Пусть p не простое число, а составное, т.е. p=n°s, n>1,s>1. Сложим единицу p раз: p°1=(n°1)·(s°1)=0 Þn○1=0 либо s○1=0. Ибо в поле нет делителей нуля, но n<p и s<p. Противоречие с выбором числа p.
2) a°p =0, " aÎP.
Любой элемент поля, сложенный р раз, где p — характеристика, равен нулю.
Доказательство:
a°p= 
=a° 
= a(p°1)=a×0=0
КОНЕЧНЫЕ КОЛЬЦА И ПОЛЯ.
Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
|
|
|
Конечное поле обычно обозначается 
или GF(q), где q — число элементов поля.
Простейшим примером конечного поля является 
— кольцо вычетов по модулю простого числа p.
Характеристика конечного поля является простым числом.
§ Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: 
.
§ Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = pn элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложениямногочлена
. § Мультипликативная группа 
конечного поля 
является циклической группой порядка q − 1.
§ В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент α, порядок которого равен q − 1, то есть α q − 1 = 1 и 
для 0 < i < q − 1.
§ Любой ненулевой элемент β является некоторой степенью примитивного элемента:
.
§ Поле 
содержит в себе в качестве подполя 
тогда и только тогда, когда k является делителем n.
-
, где p — простое: 
и так далее. -
, где 
— главный идеал кольца 
, порожденный неприводимым многочленом 
степени n.
|
|
|
