8. 6. Входное сопротивление четырехполюсника при

8. 6. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА ПРИ

ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ

Обозначим через Z_lBX входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 1, когда к выводам 2 присоединено произвольное комплексное сопротивление Z₂ (рисунок 8. 7, а); соответственно через Z_2BX обозначим входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 2, когда к выводам 1 присоединено произвольное комплексное сопротивление Z₁ (рисунок 8. 7, б).

Следовательно, входное сопротивление Z_lBX равно отношению напряжения к току /_х при прямой передаче энергии:

a Z_2BX равно отношению напряжения  к току  при обратной передаче энергии:

Входные сопротивления четырехполюсника могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника и комплексные сопротивления нагрузок Z₁ и Z₂.

Рисунок 8. Несимметричный четырехполюсник при прямой и обратной передаче: а и б - произвольная нагрузка; в и г - согласованная нагрузка.

 

Например, если воспользоваться системой уравнений (8. 3), то, разделив первое из уравнений на второе, получим:

(8. 23)

Аналогично при обратной передаче на основании (8. 18):

(8. 24)

Если воспользоваться таблицами приложений II и III, то можно выразить Z_lBX и Z_2BX через другие коэффициенты четырехполюсника.

На практике применяются и другие выражения для Z_lBX и Z_2BX. Например, в тех случаях, когда известны параметры холостого хода (Z_lX и Z_2X) и короткого замыкания (Z_lK и Z_2K), удобно пользоваться зависимостями Z_lBX и Z_2BX от этих параметров. C этой целью выражениям (8. 23) и (8. 24)

с учетом (8. 21) придается следующим вид:

Рассмотренные выше функциональные зависимости Z_ibx =   F₁(Z₂), Z_2bx =  F₂(Z₁) представляют собой дробнолинейные преобразования, связывающие сопротивления на выводах четырехполюсника; они иллюстрируют одно из свойств четырехполюсника - способность преобразовывать сопротивления.

 

8. 7. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

 

Положим, что сопротивления Z₁ и Z₂ в схемах (рисунок 8. 7, а и б) подобраны таким образом, что Z_lBX = Z₁ и Z_2ВХ = Z₂. Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: Z₁ = Z_lС и Z₂ = Z_2C, которые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление Z_lBХ четырехполюсника, нагруженного сопротивлением Z_2С, равно Z_lС (рисунок 8. 7, б); входное сопротивление Z_2BX четырехполюсника, нагруженного сопротивлением Z_lС, равно Z_2C (рисунок 8. 7, г).

Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Положив в (8. 23) и (8. 24):

 и

получим:

совместное решение этих уравнении относительно Z_1C и Z_2C, дает:

(8. 25)

Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр g, удовлетворяющий условиям:

(8. 26)

Эти условия всегда осуществимы, так как параметр g может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами (8. 16) соответствует тригонометрической формуле:

Параметр g в общем случае комплексный; g = а + jb называется мерой передачи четырехполюсника. Это - третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Иногда этот параметр называется коэффициентом передачи, его не следует смешивать с терминами «коэффициент передачи по напряжению» и «коэффициент передачи по току». В литературе ранее применялось обозначение g = b + ja. Его действительная часть а называется собственным затуханием четырехполюсника, а мнимая часть b - коэффициентом фазы.

Физический смысл этих коэффициентов будет пояснен ниже. Выразим коэффициенты четырехполюсника формы ||A|| через характеристические параметры.

На основании (8. 25):

=                                               (8. 27)

=                                            (8. 28)

Умножение (8. 26) на (8. 27) и (8. 28) дает:

ch g;                                          (8. 29)

 sh g;                                       (8. 30)

 

Деление (8. 26) на (8. 27) и (8. 28) дает:

ch g;                                          (8. 31)

 sh g;                                       (8. 32)

В результате подстановки (8. 29) - (8. 32) в (8. 3) получаются уравнения несимметричного обратимого четырехполюсника в гиперболической форме, соответствующие положительным направлениям токов  и , указанным на рисунке 8. 4:

 

При согласованно подобранной нагрузке (Z₂ = Z. _2C) имеет место равенство:

или

Если воспользоваться известным математическим соотношением:

то уравнения (8. 33) упростятся:

;    .                (8. 34)

Отсюда следует, что при согласованно подобранной нагрузке модули напряжений и соответственно токов на входе и выходе четырехполюсника связаны уравнениями:

;    .

Множитель  равен отношению амплитуд или действующих значений напряжений на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке. В свою очередь множитель авен отношению амплитуд или действующих значений токов при той же нагрузке.

Если аргументы (углы) комплексных характеристичес­ких сопротивлений Z_lc и Z_2C обозначить через ср_1с и ф_2с, то фазовый сдвиг напряжения на входе относительно напряжения на выходе определится величиной  а фазовый сдвиг тока на выходе относительно тока на выходе - величиной ).

В общем случае коэффициент фазы b может быть определен как полусумма фазовых сдвигов между напряжениями и соответственно между токами на входе и выходе четырехполюсника, нагруженного согласованно. При равенстве углов ф_1с и ф_2с и согласованно подобранной нагрузке фазовые сдвиги между напряжениями и соответственно между токами четырехполюсника одинаковы и равны b.

Характеристические параметры Z_lC, Z_2C и g могут быть выражены через параметры холостого хода и короткого замыкания, а именно: на основании (8. 21), (8. 25) и (8. 26):

(8. 35)

Подстановка (8. 26) в формулу ch g + sh g = е^g приводит к выражению, связывающему характеристический параметр g с коэффициентами четырехполюсника формы ||A||,

                      (8. 36)

По этой формуле g вычисляется однозначно, если подставлять под радикалы коэффициенты А в показательной форме с последующим сложением углов и делением их суммы на 2. По формуле (8. 35) для тангенса принципиально невозможно получить однозначное решение, так как входные сопротивления под радикалом не изменяются от перекрещивания выводов четырехполюсника. Поэтому формула (8. 36) предпочтительнее формулы (8. 35) для th g.

Вычисление g по формуле для th g ведется в следующем порядке:

,

откуда:

В результате логарифмирования:

+j

Следует отметить, что параметр g может быть также получен как половина натурального логарифма отношения произведений комплексных напряжения и тока на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Действительно, на основании (8. 34):

,

откуда:

                                 (8. 37)

В случае симметричного четырехполюсника (A₁₁ = А₂₂) характеристические сопротивления Z_lC и Z_2C равны друг другу:

Следовательно, входное сопротивление симметричного четырехполюсника, нагруженного характеристическим сопротивлением Z_c, равно Z_c. Это означает, что всякому симметричному четырехполюснику соответствует некоторое характеристическое сопротивление Z_c, обладающее следующим свойством: если нагрузить данный четырехполюсник сопротивлением Z_c, то отношения напряжения к току на входе и выходе четырехполюсника будут одинаковыми, т. е.

На основании (8. 33) уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке записываются в гиперболической форме (для положительных направлений рисунок 8. 4) так:

Если нагрузка подобрана согласованно, т. е. Z_c/₂ = = U₂, то:

                       (8. 38)

В этом случае амплитудные изменения напряжения и тока определяются множителем е^а, а фазовый сдвиг между напряжениями или токами - углом b. Собственное затухание а будет:

(8. 39)

Величины g, а и b - безразмерные. Угол b вычисляется в радианах (рад); собственное затухание а, входящее в (8. 39), принято вычислять в б е л а х (Б) или децибелах (дБ), которые определяются следующим образом.

Если полная мощность на выходе четырехполюсника в 10 раз меньше мощности на его входе, то затухание составляет 1 Б; если мощность уменьшается в 100 раз, то затухание оценивается в 2 Б и т. д. Поэтому:

В случае согласованно нагруженного симметричного четырехполюсника:

следовательно:

Децибел - единица затухания, в 10 раз меньшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1, 26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1, 12 раза.

Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в е = 2, 718 раза (так как при In U₁/U₂ = 1 имеем U₁/U₂ = 2, 718.

Таблица 8. 1 - Затухание при различных отношениях SJS_V дБ

Таблица 8. 1 иллюстрирует зависимость затухания в децибелах от отношений полных мощностей S₁/S₂ на входе и выходе четырехполюсника;

соответствующие им отношения величин напряжений или токов симметричного четырехполюсника, нагруженного согласованно, составляют VSjS₂.

Для перехода от децибелов к неперам или обратно можно воспользоваться приведенным выше условием:

Т. е. 1 дБ = 0, 115 Нп, или 1 Нп = 8, 686 дБ.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: