Алгебраические операции. Алгебры. Алгебраические системы. Группы

 

Понятия бинарной и n -местной алгебраической операции. Алгебры. Алгебраические системы.

 

Некоторые свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, нейтральные элементы, аннулирующие элементы, обратные элементы, обратимость операции; дистрибутивности. Полугруппы. Квазигруппы. Лупы.

 

Два определения группы.

 

Теорема 1. Определения группы эквивалентны.

 

Примеры групп.

1. Группы чисел по сложению: Z, Q, R, C, 2 Z.

2. Группы чисел по умножению: Q ^*, R ^*, R .

3. Группа P (M) всех биективных преобразований некоторого множества М.

 

Теорема 2. Простейшие свойства групп.

1°. В группе нейтральный элемент единственный.

2°. В группе обратный для данного элемент единственный.

3°. (a ^–1)^–1 = a.

4°. (ab)^–1 = b ^–1 a ^–1.

 

Мультипликативная и аддитивная записи и терминология.

 

Изоморфизмы групп.

 

Теорема 3. Свойства изоморфизма групп.

1°. Тождественное отображение группы является изоморфизмом.

2°. Отображение, обратное изоморфизму, является изоморфизмом групп.

3°. Композиция двух изоморфизмов является изоморфизмом.

 

Отношение изоморфизма. @.

 

Теорема 4. Отношение изоморфизма в классе групп является отношением эквивалентности.

 

Подгруппы

 

Определение и примеры подгрупп.

 

Теорема 1. Первый критерий подгруппы.

Пусть á G; ×ñ – группа, H Ì G. Тогда H является подгруппой группы H, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) H ¹ Æ; 2) h ₁, h ₂Î H Þ h ₁ h ₂ Î H; 3) h Î H Þ h ^–1Î H.

 

Теорема 2. Второй критерий подгруппы.

Пусть á G; ×ñ – группа, H Ì G. Тогда H является подгруппой группы H, если и только если одновременно выполняются следующие два условия:

1) H ¹ Æ; 2) h ₁, h ₂Î H Þ h ₁ h ₂^–1 Î H.

 

Кольца и поля

 

Примеры колец: Z, Q, R, R [ x ],

 

Нулевой и единичный элементы, противоположный и обратный элементы.

 

Теорема 1. Свойства противоположных и обратных.

1°. В кольценуль и единица единственные.

2°. В кольце каждый элемент имеет единственный противоположный;

в поле каждый ненулевой элемент имеет единственный обратный.

3°. В кольце: –0 = 0; в поле: 1^–1 = 1.

4°. –(a + b) = (– a)+(– b); (ab)^–1 = a ^–1 b ^–1.

5°.–(– a) = a; (a ^–1)^–1 = a.

 

Теорема 2. О расщеплении.

1°. В кольце(" a)(" b)($! c)(b + c = a).

2°. В поле (" a)(" b ¹0)($! c)(b × c = a).

 

Разность и частное: a – b, .

 

Изоморфизм колец и полей. Отношение изоморфизма @.

 

Теорема 3. Свойства изоморфизма колец и полей.

1°. Тождественное отображение является изоморфизмом.

2°. Отображение, обратное изоморфизму, является изоморфизмом.

3°. Композиция двух изоморфизмов является изоморфизмом.

4°. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности.

 

Подкольца и подполя

 

Определение и примеры подколец и подполей.

 

Теорема 1. Первый критерий подкольца.

Пусть á A; +, ×ñ – кольцо, B Ì A. Тогда B является подкольцом кольца A, если и только если одновременно выполняются следующие четыре условия:

1) B ¹ Æ; 2) a ₁, a ₂Î B Þ a ₁ +a ₂ Î B; 3) a Î B Þ – a Î B; 4) a ₁, a ₂Î B Þ a ₁ a ₂ Î B.

 

Теорема 2. Второй критерий подкольца.

Пусть á A; +, ×ñ – кольцо, B Ì A. Тогда B является подкольцом кольца A, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) B ¹ Æ; 2) a ₁, a ₂Î B Þ a ₁– a ₂ Î B; 3) a ₁, a ₂Î B Þ a ₁ a ₂ Î B.

 

Теорема 3. Критерий подполя.

Пусть á A; +, ×ñ – поле, B Ì A. Тогда B является подполем поля A, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) B ^* ¹ Æ; 2) a ₁, a ₂Î B Þ a ₁– a ₂ Î B; 3) a ₁, a ₂Î B ^* Þ a ₁ a ₂^–1 Î B ^*.

 

Теорема 4. Особенности числовых подколец и подполей.

1°. Кольцо целых чисел является наименьшим числовым кольцом с единицей.

2°. Поле рациональных чисел является наименьшим числовым полем.

3°. Всякий изоморфизм числовых полей действует тождественно на множестве рациональных чисел.

 

 

ГЛАВА 3. Системы линейных уравнений. Арифметическое n -мерное векторное пространство

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: