Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тема 6. Функция двух переменных

Определение. Есликаждой паре чисел по некоторому закону поставлено одно определённое число , то говорят, что на множестве D задана функция Z=f(x,y).

Для определения полного дифференциала функции Z=f(x,y) необходимо ввести понятие частной производной нескольких переменных.

Определение. Величина называется полным приращением функции в точке (х, у). Если задать только приращение аргумента или только приращения аргумента , то полученные приращения функции соответственно: и называются частными.

Определение. Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел , вычисленный при постоянном .

Определение. Частной производной от функции по называется конечный предел , вычисленный при постоянном .

Обозначается частная производная так: или .

Пример 16 Найти частные производные функций^:

a) ; b) .

Решение:

а) при нахождении частной производной по х будем рассматривать как величину постоянную. Получим: .

Аналогично, дифференцируя по у, считаем постоянной величиной, т.е. ;

b) при фиксированном имеем степенную функцию от х, таким образом, ;

при фиксированном функция является показательной относительно , тогда .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Пример 17 Найти полный дифференциал функции .

Решение: ; ; .

Тема 6. Интегральные исчисления

Неопределённый интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на промежутке X, если в каждой точке этого промежутка

F^/ (x) = f(x).

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F(x) + С, где С ─ произвольная постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных функции ƒ(х) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается т.е. .

Свойства неопределённого интеграла

1. , ─постоянное число.

2. .

3. .

4. .

5. .

Таблица основных интегралов

№	Формула	№	Формула


	,

	,

Пример 18 Найти интеграл .

Решение.

Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:

а) , если ;

б) .

Пример 19 Найти интегралы.

а) ; б) ;

в) ;

г) .

Замена переменной в неопределённом интеграле

(метод подстановки)

Одним из основных методов интегрирования является метод замены

переменной, описываемый следующей формулой:

где ─ функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример 20 Найти интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: а) ;

б) ;

в) ;

г)

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

где ─ непрерывно дифференцируемые функции.

При использовании этой формулы за U берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример 21 Найти интегралы:

a) ; б) ; в) .