Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых

Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых. Здесь мы сформулируем и докажем одну из самых простых форм центральной предельной теоремы, относящуюся к случаю одинаково распределенных слагаемых.

Теорема. Если - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении закон распределения суммы

(13.8.1)

неограниченно приближается к нормальному.

Доказательство.

Проведем доказательство для случая непрерывных случайных величин (для прерывных оно будет аналогичным).

Согласно второму свойству характеристических функций, доказанному в предыдущем ,характеристическая функция величины представляет собой произведение характеристических функций слагаемых. Случайные величины имеют один и тот же закон распределения с плотностью и, следовательно, одну и ту же характеристическую функцию

. (13.8.2)

Следовательно, характеристическая функция случайной величины будет

. (13.8.3)

Исследуем более подробно функцию . Представим ее в окрестности точки по формуле Маклорена с тремя членами:

, (13.8.4)

где при .

Найдем величины , , . Полагая в формуле (13.8.2) имеем:

. (13.8.5)

Продифференцируем (13.8.2) по :

. (13.8.6)

Полагая в (13.8.6) , получим:

. (13.8.7)

Очевидно, не ограничивая общности, можно положить (для этого достаточно перенести начало отсчета в точку ). Тогда

Продифференцируем (13.8.6) еще раз:

отсюда

. (13.8.8)

При интеграл в выражении (13.8.8) есть не что иное, как дисперсия величины с плотностью , следовательно

. (13.8.9)

Подставляя в (13.8.4) , и , получим:

. (13.8.10)

Обратимся к случайной величине . Мы хотим доказать, что ее закон распределения при увеличении приближается к нормальному. Для этого перейдем от величины к другой («нормированной») случайной величине

. (13.8.11)

Эта величина удобна тем, что ее дисперсия не зависит от и равна единице при любом . В этом нетрудно убедиться, рассматривая величину как линейную функцию независимых случайных величин , каждая из которых имеет дисперсию . Если мы докажем, что закон распределения величины приближается к нормальному, то, очевидно, это будет справедливо и для величины , связанной с линейной зависимостью (13.8.11).

Вместо того чтобы доказывать, что закон распределения величины при увеличении приближается к нормальному, покажем, что ее характеристическая функция приближается к характеристической функции нормального закона.

Найдем характеристическую функцию величины . Из соотношения (13.8.11), согласно первому свойству характеристических функций (13.7.8), получим

, (13.8.12)

где - характеристическая функция случайной величины .

Из формул (13.8.12) и (13.8.3) получим

(13.8.13)

или, пользуясь формулой (13.8.10),

. (13.8.14)

Прологарифмируем выражение (13.8.14):

Введем обозначение

. (13.8.15)

Тогда

. (13.8.16)

Будем неограниченно увеличивать . При этом величина , согласно формуле (13.8.15), стремится к нулю. При значительном ее можно считать весьма малой. Разложим, в ряд и ограничимся одним членом разложения (остальные при станут пренебрежимо малыми):

Тогда получим

По определению функция стремится к нулю при ; следовательно,

откуда

. (13.8.17)

Это есть не что иное, как характеристическая функция нормального закона с параметрами , (см. пример 2, 13.7).

Таким образом, доказано, что при увеличении характеристическая функция случайной величины неограниченно приближается к характеристической функции нормального закона; отсюда заключаем что и закон распределения величины (а значит и величины ) неограниченно приближается к нормальному закону. Теорема доказана.

Мы доказали центральную предельную теорему для частного, но важного случая одинаково распределенных слагаемых. Однако в достаточно широком классе условий она справедлива и для неодинаково распределенных слагаемых. Например, А. М. Ляпунов доказал центральную предельную теорему для следующих условий:

, (13.8.18)