 |
Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении
|
|
|
|
Согласно центральной предельной теореме, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин (при соблюдении некоторых нежестких ограничений) сколь угодно близок к нормальному.
Практически центральной предельной теоремой можно пользоваться и тогда, когда речь идет о сумме сравнительно небольшого числа случайных величин. При суммировании независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, с увеличением числа слагаемых закон распределения суммы очень скоро становится приблизительно нормальным. На практике вообще широко применяется приближенная замена одних законов распределения другими; при той сравнительно малой точности, которая требуется от вероятностных расчетов, такая замена тоже может быть сделана крайне приближенно. Опыт показывает, что когда число слагаемых порядка десяти (а часто и меньше), закон распределения суммы обычно может быть заменен нормальным.
В практических задачах часто применяют центральную предельную теорему для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах.
Пусть 
- независимые случайные величины с математическими ожиданиями
и дисперсиями
.
Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены (величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы) и число слагаемых 
достаточно для того, чтобы закон распределения величины
(13.9.1)
можно было считать приближенно нормальным.
Тогда вероятность того, что случайная величина 
попадает в пределы участка 
, выражается формулой
, (13.9.2)
где 
, 
- математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины 
- нормальная функция распределения.
|
|
|
Согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий
(13.9.3)
Таким образом, для того чтобы приближенно найти вероятности попадания суммы большого числаслучайных величин на заданный участок, не требуется знать законы распределения этих величин; достаточно знать лишь их характеристики. Разумеется, это относится только к случаю, когда выполнено основное условиецентральной предельной теоремы - равномерно малое влияние слагаемых на рассеивание суммы.
Кроме формул типа (13.9.2), на практике часто применяются формулы, в которых вместо суммы случайных величин 
фигурирует их нормированная сумма
. (13.9.4)
Очевидно,
; 
.
Если закон распределения величины близок к нормальному с параметрами (13.9.3), то закон распределения величины 
близок к нормальному с параметрами 
, 
. Отсюда
. (13.9.5)
Заметим, что центральная предельная теорема может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным случайным величинам при условии, что мы будем оперировать не плотностями, а функциями распределения. Действительно, если величины дискретны, то их сумма 
- также дискретная случайная величина и поэтому, строго говоря, не может подчиняться нормальному закону. Однако все формулы типа (13.9.2), (13.9.5) остаются в силе, так как в них фигурируют не плотности, а функции распределения. Можно доказать, что еслидискретные случайные величины удовлетворяют условиям центральной предельной теоремы, тофункция распределения их нормированной суммы (см. формулу (13.9.4)) при увеличении неограниченно приближается к нормальной функции распределения с параметрами , .
Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин является теорема Лапласа.
Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие 
появляется с вероятностью 
, то справедливо соотношение
, (13.9.6)
где - число появлений события в опытах, 
.
|
|
|
Доказательство. Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью может появиться событие . Представим случайную величину - общее число появлений события в опытах - в виде суммы
, (13.9.7)
где - число появлений события в 
-м опыте.
Согласно доказанной в 
13.8 теореме, закон распределения суммы одинаково распределенных слагаемых при увеличении их числа приближается к нормальному закону. Следовательно, при достаточно большом справедлива формула (13.9.5), где
. (13.9.8)
В 10.3 мы доказали, что математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в независимых опытах равны:
; 
.
Подставляя эти выражения в (13.9.8), получим
,
и формула (13.9.5) примет вид:
.
Теорема доказана.
Пример 1. По полосе укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании одной такой серииматематическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5. Найти приближенно вероятность того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб.
Решение. Представим общее число попаданий как сумму чисел попаданий бомб в отдельных сериях:
,
где - число попаданий -й серии.
Условия центральной предельной теоремы соблюдены, так как величины 
распределены одинаково. Будем считать число 
достаточным для того, чтобы можно было применить предельную теорему (на практике она обычно применима и при гораздо меньших ). Имеем:
, 
.
Применяя формулу (13.9.6), получим:
,
т. е. с вероятностью 0,82 можно утверждать, что общее число попадании в полосу не выйдет за пределы 
.
Пример 2. Происходит групповой воздушный бой, в котором участвуют 50 бомбардировщиков и 100 истребителей. Каждый бомбардировщик атакуется двумя истребителями; таким образом, воздушный бой распадается на 50 элементарных воздушных боев, в каждом из которых участвует один бомбардировщик и два истребителя. В каждом элементарном бою вероятность сбития бомбардировщика равна 0,4; вероятность того, что в элементарном бою будут сбиты оба истребителя, равна 0,2: вероятность того, что будет сбит ровно один истребитель, равна 0,5. Требуется: 1) найти вероятность того, что в воздушном бою будет сбито не менее 35% бомбардировщиков; 2) оценить границы, в которых с вероятностью 0,9 будет заключено число сбитых истребителей.
|
|
|
Решение. 1) Обозначим - число сбитых бомбардировщиков;
,
где - число бомбардировщиков, сбитых в -м элементарном бою.
Ряд распределения величины имеет вид:
| 
|
| 
|
Отсюда
; 
; 
; 
.
Применяя формулу (13.9.6) и полагая 
(или, что в данном случае равносильно, 
), 
, находим:
.
2) Обозначим число сбитых истребителей:
,
где 
- число истребителей, сбитых в -м элементарном бою.
Ряд распределения величины имеет вид:
|
|
| 
|
| 
| 
|
Отсюда находим математическое ожидание и дисперсию величины :
; 
.
Для величины :
; 
; 
.
Определим границы участка, симметричного относительно 
, в который с вероятностью 0,9 попадет величина . Обозначим половину длины этого участка 
. Тогда
,
.
По таблицам функции 
находим то значение аргумента, для которого 
; это значение приближенно равно
,
т.е.
,
откуда
.
Следовательно, с вероятностью около 0,9 можно утверждать, что число сбитых истребителей будет заключено в предела 
, т. е. в пределах от 37 до 53.
ГЛАВА 14 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ
|
|
|
