Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тема 6. Теория игр n лиц в нормальной форме

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 10Следующая ⇒

Контрольные вопросы

1. Смешанные стратегии и нормальная форма.

2. Игры с постоянной суммой и с нулевой суммой.

3. Стратегия поведения и идеальная память.

4. Условия, ограничивающие сообщение.

5. Некооперативные игры.

6. Точка равновесия.

7. Кооперативные игры без побочных платежей.

8. Ядро.

Литература основная: [1–4]; дополнительная: [5, 6, 9, 10, 15-17].

Типовые примеры

Кооперирование предприятий.

Требуется решить вопрос о целесообразности объединения предприятий, найти максимальный возможный доход объединения, справедливый дележ – вектор Шепли.

	#1	#2	#3
I
II
III

Решение. Подсчитаем выигрыши коалиций, т.е. доход, который они получат при объединении. Для 3 игроков имеем 2³=8 коалиций.

Так как каждое из предприятий не выпускает одного из типов продукции, то без объединения никто ничего не зарабатывает. v(Æ)=v(I)=v(II)=v(III)=0.

При объединении I и II предприятий, их общий выпуск равен

	#1	#2	#3
I
II
итого

Они могут сформировать 900 комплектов и выручить за них 900 тыс. руб.

При объединении I и III предприятий, их общий выпуск равен

	#1	#2	#3
I
III
итого

Они могут сформировать 800 комплектов и выручить за них 800 тыс. руб.

При объединении II и III предприятий, их общий выпуск равен

	#1	#2	#3
II
III
итого

Они могут сформировать 300 комплектов и выручить за них 300 тыс. руб.

При объединении всех трех предприятий, их суммарный выпуск равен

	#1	#2	#3
I
II
III
итого

Они могут сформировать 1200 комплектов и выручить за них 1200 тыс. руб.

Занесем полученную информацию в таблицу выигрышей коалиций.

S	v(S)	S	v(S)
Æ		{I, II}
{I}		{I, III}
{II}		{II, III}
{III}		{I, II, III}

Теперь составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции, раздавая каждому участнику ту дополнительную прибыль, которую он приносит в эту коалицию. Всего существует 3!=6 порядков формирования коалиций.

Порядок входа в коалицию		Сколько получает коалиция	Сколько получает каждый участник
первый	второй	третий	один	двое	трое	I	II	III
I	II	III
I	III	II
II	I	III
II	III	I
III	I	II
III	II	I
Итого

Например, на 5 строке указан порядок входа III, I, II.

Сначала приходит участник III. Так как v(III)=0, то он получает 0.

Следующим приходит участник I. Так как v(I,III)=800, то он получает 800-0=800.

Последним приходит участник II. Так как v(I,II,III)=1200, то ему достается 1200-800=400. Аналогично заполнены все остальные строки.

В строке итого подведены все доходы отдельных участников, полученные при 6 различных порядках. Собственно, эти 6 порядков выполняются для обеспечения полной симметрии по входам.

В заключение поделим полученные выигрыши на 6 и получим вектор справедливого платежа, который получают участники при вступлении в коалицию.

Можно отметить, основные свойства вектора Шепли (справедливого дележа): от вступления в коалицию каждому участнику не становится хуже, кроме того, максимальный доход коалиции действительно получается и распределяется.

Почему первый участник должен получить больше других? Во-первых, выпуски на первом предприятии больше, во-вторых, в формировании лимитирующего количества 1200 главным образом участвует продукция #1, которая в основном выпускается на I предприятии, т.е. оно получает дополнительный доход за редкость.

Задачи для решения

Имеется три предприятия (I, II, III); которые выпускают продукцию #1, продукцию #2 и продукцию #3.Следующая таблица представляет общие выпуски продукции по каждому предприятию. Продукция продается комплектами (1ед. #1, 1ед. #2 и 1ед. #3). Спрос неограничен. Комплект стоит 1 тыс. руб. Требуется решить вопрос о целесообразности объединения предприятий, найти максимальный возможный доход объединения, справедливый дележ – вектор Шепли. В левом верхнем углу указан номер варианта.

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

	#1	#2	#3		#1	#2	#3
I				I
II				II
III				III

Раздел 3. Выбор решения

Тема 7. Решения игр

Контрольные вопросы

1. Решение фон Неймана-Моргенштерна.

2. Решение задачи о рынке с одним продавцом и двумя покупателями.

3. Решение на областях, отличных от предпосылок.

4. Разумные исходы и цена.

5. Цена как арбитражная схема.

5. Литература основная: [1, 4]; дополнительная: [5, 6, 9-11, 16, 17].

7. Тема 8. Приложения теории игр n лиц

7. Контрольные вопросы

7.

1. Априорное распределение сил в схемах голосования.

2. Распределение сил в идеализированном законодательном органе.

3. Бывает ли реальная игра абстрактной игрой.

3. Литература основная: [2–4]; дополнительная: [5, 6, 9-11].

3.

3.Схемы голосования – довольно известный пример приложения теории игр к практике. Любопытным фактом является тот, что для получения результата не обязательно увеличивать число сторонников партии, может быть достаточно изменить схему голосования.

3.

Типовые примеры

Пример. Располагая информацией о количестве голосов, которыми располагают партии, и о размере выигрывающей коалиции, найти веса партий при голосовании.

				выигрыш
40%	27%	20%	13%	66,6%

Решение. Используем схему решения игры, аналогичную расчету вектора Шепли. Представим данную игру в виде таблицы. Подсчитав выигрыши коалиций, причем для коалиции S имеем v(S)=1, если |S|>66,6%. В противном случае v(S)=0. Для 4 участников имеем 2⁴=16 коалиций.

S	v(S)	S	v(S)	S	v(S)	S	v(S)
Æ		{4}		{2, 3}		{1, 2, 4}
{1}		{1, 2}		{2, 4}		{1, 3, 4}
{2}		{1, 3}		{3, 4}		{2, 3, 4}
{3}		{1, 4}		{1, 2, 3}		{1, 2, 3, 4}

Расстановка 1 и 0 осуществляется так. Например, для 1 и 2 партий сумма их голосов составляет 40%+27%=67%. Это больше порогового значения 66,6%, поэтому эта коалиция является выигрывающей и в таблице имеет v({1,2)}=1. А, скажем, коалиция S={2,3,4} имеет в сумме 27%+20%+13%=60% голосов, что меньше 66,6%, поэтому v({2,3,4})=0. остальные цифры рассчитаны аналогично.

Теперь составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции, раздавая 1 тому участнику, с чьим приходом эта коалиция становится выигрывающей. Всего существует 4!=24 порядка формирования коалиций.

вход

Накопленные голоса (%)

выигрыш

Перв.

Втор.

Трет.

Четв.

Перв.

двое

трое

все

итого

Напомним, что 1 получает тот игрок, с приходом которого суммарный вес коалиции превышает 66,6%. Например, на первой строке – это игрок №2, который вошел третьим, и с его появлением вес коалиции стал равен 80%, до него вес был равен 53%, что меньше 66,6%. В заключение поделим полученные выигрыши на 24 и получим вектор весов партий . Можно отметить, что, хотя первая партия не имеет большинства, но по весам она абсолютно доминирует над остальными партиями.

Задачи для решения

Располагая информацией о количестве голосов, которыми располагают партии, и о размере выигрывающей коалиции, найти веса партий при голосовании.

№ варианта					Размер выигрыва- ющей коалиции
	37,8%	22,0%	15,4%	24,8%	68,6%
	37,9%	28,8%	24,9%	8,4%	57,5%
	37,5%	29,5%	20,1%	12,9%	71,2%
	32,9%	22,6%	17,0%	27,6%	67,1%
	35,6%	21,2%	19,6%	23,6%	75,0%
	30,1%	22,1%	23,0%	24,9%	59,9%
	37,1%	16,5%	15,0%	31,4%	58,3%
	39,2%	21,7%	23,5%	15,6%	67,9%
	31,8%	17,8%	19,6%	30,8%	69,9%
	37,4%	19,6%	16,5%	26,5%	59,5%
	31,4%	28,1%	24,3%	16,2%	68,0%
	33,6%	15,3%	21,5%	29,7%	51,4%
	37,7%	24,1%	18,5%	19,6%	53,1%
	31,8%	25,8%	15,8%	26,5%	51,4%
	31,3%	22,4%	20,1%	26,3%	75,4%
	38,0%	26,0%	22,3%	13,7%	75,4%
	34,7%	25,3%	17,3%	22,8%	55,8%
	31,1%	22,6%	18,3%	28,0%	56,1%
	30,4%	28,4%	15,0%	26,2%	55,6%
	31,6%	26,5%	17,2%	24,6%	79,5%

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая ⇒

Воспользуйтесь поиском по сайту: