Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Частица в потенциальной яме




 

Из потенциальной ямы глубиной А может выйти частица благодаря тепловому движению. Получим время τ, за которое частица выходит из ямы.

 

По определению плотности потока для одной частицы получаем

 

.

Сравниваем с

, (П.5.12)

получаем

, (П.5.14)

 

t0 – характерное время выхода при . Закон Аррениуса – время выхода возрастает экспоненциально с ростом глубины ямы.

 

Распределение Больцмана

 

Рассматривается распределение частиц идеального газа по координатам.

 

В отсутствии внешнего поля все точки объема с газом равновероятны.

 

Во внешнем потенциальном поле частица имеет потенциальную энергию и на нее действует сила

,

 

направленная в сторону быстрейшего уменьшения . Сила перемещает частицы газа в определенном направлении, но их разбрасывает тепловое движение. Конкуренция этих тенденций создает равновесное распределение концентрации частиц.

 

Вывод распределения

 

Используем каноническое распределение с гамильтонианом частицы

 

.

 

Слагаемые с импульсами и координатами разделены, поэтому разделяются распределения по импульсам и координатам

 

.

 

Для координат получаем распределение Больцмана

 

(2.55)

 

– вероятность обнаружения частицы в элементе объема ;

 

– число частиц в элементе объема ;

 

N – число частиц в объеме V;

 

– потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Нормировка вероятности

дает

,

тогда

. (2.55а)

 

Если потенциальная энергия не зависит от x и y, тогда , интегрируем (2.55а) по x и y, находим вероятность обнаружения частицы в интервале :

; (2.55б)

 

– плотность вероятности, т. е. вероятность обнаружения частицы в единичном интервале около z;

N –число частиц в объеме V;

 

(2.56)

 

– число частиц в интервале .

 

Мысленно выделяем в объеме газа цилиндр с поперечным сечением , образующей вдоль z, и числом частиц . В интервале число частиц

,

концентрация

. (2.56а)

ФормулА Больцмана

 

Газ в однородном поле тяжести. Сила mg действует на частицу вниз. Тепловая энергия раскидывает частицы по разным высотам. Концентрация уменьшается с высотой z.

 

Потенциальная энергия частицы в поле тяжести

 

,

 

m – масса частицы. Для концентрации получаем из (2.56а) формулу Больцмана

, (П.6.1)

 

– концентрация при .

 

Если N частиц заполняют цилиндр 0 £ z < ¥ с поперечным сечением , тогда вероятность обнаружить частицу в интервале

 

, (П.6.2)

где

;

.

Концентрация около точки z

 

.

 

 

Площадь под кривой равна N.

 

Среднее положение частицы

 

,

где

, (5.6.2)

 

.

 

Число частиц в цилиндре

.

 

При t = 0°С для воздуха m = 29 кг/кмоль получаем км.

 

При Р = 760 мм р.с. находим число частиц в столбе воздуха с единичным поперечным сечением

.

 

Число Лошмидта – концентрация у поверхности земли

 

.

Средняя потенциальная энергия частицы

 

.

 

Результат следует также из теоремы о распределении тепловой энергии по степеням свободы. Для одной степени свободы с потенциальной энергией используем

, (2.38)

 

. (2.39)

 

 

Газ в центрифуге

 

Центрифуга – цилиндрический сосуд с газом радиусом R, длиной образующей H, вращается вокруг оси с угловой скоростью w. Концентрация увеличивается с удалением от оси.

 

 

В системе отсчета, связанной с вращающимся сосудом, на частицу действует центробежная сила . Из

 

,

 

 

находим потенциальную энергию вращения на расстоянии r от оси

 

.

Из распределения Больцмана

 

(2.55)

в цилиндрических координатах

 

,

получаем

.

Интегрируем по z и φ

(П.6.2)

 

– вероятность найти частицу в цилиндрическом слое радиусом r, толщиной dr.

 

Вероятность найти частицу в единице объема на расстоянии r от оси

 

,

где

 

– объем цилиндрического слоя радиусом r, толщиной dr.

Концентрация

,

 

где N – число частиц в центрифуге. Учитывая (П.6.2), получаем

 

, (П.6.3)

– концентрация на оси вращения;

– увеличивается при удалении от оси.

 

Условие нормировки на число частиц в центрифуге

 

дает

. (П.6.4)

 





©2015- 2017 megalektsii.ru Права всех материалов защищены законодательством РФ.