Теорема 1. Критерий собственных чисел (для матриц).
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Характеристический многочлен матрицы. Определение 1. Пусть - квадратная матрица порядка , элементы которой вещественные или комплексные числа. Характеристическим многочленом матрицы называют многочлен, равный определителю матрицы . Этот многочлен будем обозначать так: , т.е. или Как следует из определения определителя - го порядка, степень характеристического многочлена квадратной матрицы равна её порядку. Следовательно, характеристический многочлен матрицы имеет вид: . Произведение является единственным из ! слагаемых определителя матрицы , содержащим и . Следовательно, . Сумму называют следом матрицы и обозначают так: . Таким образом, . Положим . Тогда . Существуют формулы, выражающие и остальные коэффициенты характеристического многочлена через элементы матрицы . Пример 1. Найдём характеристический многочлен матрицы . Воспользуемся определением: . Результат вычисления согласуется с формулами, полученными для коэффициентов характеристического многочлена: . Определение 2. Пусть - квадратная матрица порядка , элементы которой вещественные или комплексные числа, - многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами. Значением многочлена от матрицы называют матрицу, обозначаемую и такую, что , где - единичная матрица порядка .
Пример 2. Найдём значениемногочлена от матрицы из примера 1.
Итак, . Это равенство верно и для любой квадратной матрицы. Это утверждение, называемое теоремой Гамильтона-Кэли, приведём без доказательства.
Теорема 1. (Гамильтона-Кэли для матриц). Значением характеристического многочлена от квадратной матрицы является нулевая матрица, т.е.
. Определение 3. Пусть и - квадратные матрицы порядка , элементами которых являются вещественные или комплексные числа. Будем говорить, что матрица подобна матрице (обозначение ), если существует такая неособенная матрица порядка , что справедливо равенство
Лемма 1. Отношение подобия является отношением эквивалентности, т.е. это отношение обладает тремя свойствами: 1. (рефлексивность). 2. Если , то и (симметричность). 3. Если и , то (транзитивность). Доказательство. 1. . 2. Если , то , и . 3. Если и , то .
Лемма 2. Характеристические многочлены подобных матриц равны, т.е. если , то . Доказательство. Пусть , т.е. . Отсюда следует: Замечание. Может оказаться, что , но матрицы и не являются подобными. Например, если , а матрица , то . Однако, матрицы и не являются подобными. Если , то
т.к. . Однако .
Собственные числа и собственные векторы матрицы. Определение 1. Пусть - квадратная матрица порядка , элементы которой вещественные (или комплексные) числа. Число будем называть собственным числом матрицы , если найдётся такой ненулевой вещественный (или комплексный) столбец высоты , для которого выполняется равенство . В этом случае столбец называют собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу . Замечание. Собственные числа называют также собственными значениями или характеристическими числами матрицы . Собственные векторы называют также собственными столбцами матрицы Теорема 1. Критерий собственных чисел (для матриц). Для того чтобы число K было собственным числом матрицы (K), необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического многочлена этой матрицы, т.е. ( - собственное число матрицы ) . Доказательство. Из определения 1 следует, что число является собственным числом матрицы тогда и только тогда, когда найдётся такой ненулевой столбец высоты с элементами из K, для которого выполняется равенство . Последнее равенство, очевидно, эквивалентно следующему: . Таким образом, это утверждение равносильно тому, что система линейных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение . По теореме 2 §1главы IY
это возможно тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е. , а это и означает, что . Таким образом число - корень характеристического многочлена матрицы . Это доказательство можно записать с помощью символов: ( -собственное число матрицы ) K , , т.ч. ) K , , т.ч. ) ( имеет ненулевое решение) корень характеристического многочлена матрицы ).
Определение 2. Совокупность всех собственных чисел матрицы (K) с учётом их кратности как корня характеристического многочлена, будем называть спектром матрицы , и обозначать так: .
Пример 1. Найдём собственные числа, собственные векторы и спектр матрицы . Найдём характеристический многочлен этой матрицы: Следовательно, нашли спектр матрицы : . Теперь найдём собственные векторы этой матрицы. 1) Сначала найдём собственные векторы, соответствующие собственному числу . Для этого нужно найти ненулевые решения системы линейных алгебраических уравнений (1). Решим систему (1) методом Гаусса в матричной форме: Следовательно, система (1) равносильна системе .
Положим . Тогда: . Таким образом, собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу , имеет вид: , где . 2) Теперь найдём собственные векторы, соответствующие собственному числу . Для этого нужно найти ненулевые решения системы линейных алгебраических уравнений (2). Положим . Тогда . Таким образом, собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу , имеет вид: , где числа и не равны нулю одновременно.
Лемма. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов матрицы , соответствующих одному и тому же собственному числу , является собственным вектором этой матрицы, соответствующим этому собственному числу. Доказательство. Пусть - собственные векторы матрицы (K), соответствующие одному и тому же собственному числу K, т.е. . Пусть K и пусть . Тогда отсюда следует, что , причём . Следовательно, является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу .
Без доказательства приведём формулировку основной теоремы высшей алгебры.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|