 |
Процентные ставки и методы их начисления
|
|
|
|
Тема 5. Денежные потоки и методы оценки
Операции наращения и дисконтирования, процентные ставки
Денежные потоки: виды и методы анализа
Методы оценки денежных потоков в финансовых расчетах
Аннуитеты и их оценка. Метод депозитной книжки
Операции наращения и дисконтирования, процентные ставки
Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя – прироста (FV − PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом – ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой, очевидно, можно взять либо PV, либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:
темп прироста:
| 5.1. |
темп снижения:
| 5.2. |
Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (5.1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы 5.1.: 
Величина FV показывает как бы будущую стоимость «сегодняшней» величины при заданном уровне доходности. Из формулы (5.2): 
В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще название – процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй – «учетная ставка», «дисконт». Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой:
|
|
|
 или 
|
Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (5.1) – исходная сумма, в формуле (5.2) – возвращаемая сумма.
Очевидно, что rt > dt, а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если rt = 8%, dt = 7,4%, то есть расхождение сравнительно невелико; если rt = 80%, то dt = 44,4%, т.е. ставки существенно различаются по величине.
Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина – приведенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.
В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему (рис. 5.1).
 |
Рис. 5.1. Схема финансовых операций в экономике
Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Одна из интерпретаций ставки, используемой для дисконтирования, такова: ставка показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.
Процентные ставки и методы их начисления
|
|
|
Известны две основные схемы начисления:
1) схема простых процентов;
2) схема сложных процентов.
Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Таким образом, размер инвестированного капитала (Rn) через n лет будет равен:
| FV = PV + PV*r + …+ PV*r = PV * (1 + n * r) | 5.3 |
Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен:
к концу n-го года: FV = PV * (1 + r)n.
Таким образом, для наращения: FV = PV * (1 + r)n.
Для дисконтирования и расчета приведенной стоимости: PV = FV / (1 + r)n.
Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя FM 1 (r, п), называемого мультиплицирующим множителем для единичного платежа и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и п. Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:
| Fn = P * FM 1(r; n) | 5.4 |
где FM 1 (r, п) = (1 + r)п – мультиплицирующий множитель для единичного платежа.
Экономический смысл множителя FM l (r, n) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке г.
Множитель FM 2 (r, п) = 1 / (1 + r)п называется дисконтирующим множителем для единичного платежа. Экономический смысл дисконтирующего множителя FМ 2 (r, n) заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т.е. чему с позиции текущего момента равна одна денежная единица (например, один рубль), циркулирующая в сфере бизнеса n периодов спустя от момента расчета, при процентной ставке (доходности) r и частоте начисления процента.
Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:
|
|
|
§ более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);
§ более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);
§ обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как «правило 72-х».
Это правило заключается в следующем: если г – процентная ставка, выраженная в процентах, то k =72 / г представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится.
Это правило хорошо срабатывает для небольших значений г (до 20%). Так, если годовая ставка г = 12%, т k = 6 годам.
Правило «69»: n = (69 / г) + 0,35.
Данное правило, также как и первое, дает весьма точный результат при небольших значениях г. При процентной ставке, равной, например, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72-х» она будет больше) и растет с ростом г. При этом срок удвоения, полученный по правилу «69» будет больше, чем в действительности, а по правилу «72-х» – меньше.
В финансовых расчетах временной интервал финансовой операции нередко оговаривается, как правило, в пределах одного года. В настоящее время распространены в большей степени краткосрочные банковские кредиты, то есть займы, предоставляемые банками на рынке ссудных капиталов на срок до одного года.
В этих случаях в финансовых расчетах используют следующий алгоритм, основанный на применении так называемой промежуточной процентной ставки. Величина последней равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временного интервала в году.
| rп = t / T * r, | (5.5) |
где: rп – промежуточная процентная ставка; г – годовая процентная ставка в долях единицы; t – продолжительность финансовой операции (дни, кварталы); Т – количество дней в году.
|
|
|
В практике финансовых расчетов в зависимости от того, чему берется равной продолжительность временного периода (года, квартала, месяца), при определении размера промежуточной процентной ставки возможны два варианта:
1) точный процент – используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице (одна для обычного года, вторая для високосного), где показаны порядковые номера каждого дня. Все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня;
2) обыкновенный процент – берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.
Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31) и точное число дней ссуд. Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день.
Пример. Предоставлена ссуда в размере 7 000 руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых (год невисокосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению (F).
Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется по таблице с номерами дней года (приложение 2) / 161 − 41 = 120 (дн.). Приближенное число дней ссуды равно: 18 дней февраля (59 − 41) + 90 дн. (по 30 дней трех месяцев: март, апрель, май) + 10 дней июня = 118 дн.
Возможные варианты возврата долга:
1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:
F= 7000 * (1 + 120 / 365 * 0,2) = 7 460 руб.
2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:
F = 7000 * (1 + 120 / 360 * 0,2) = 7 467 руб.
3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней:
F= 7000 * (1 + 118 / 360 * 0,2) = 7 459 руб.
Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются дисконтной ставкой. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следующей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет его банку, который соглашается учесть его, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которая нередко также называется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (РV), исчисляемую исходя из объявленной учетной ставки (d). Очевидно, что чем выше значение этой ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет предоставляемой банком суммы ведется по формуле, являющейся следствием формулы (5.2):
|
|
|
PV = FV * (1 − t / T *d)
Пример: Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения 28.09.2010 г. Вексель предъявлен 13.09.2010 г. Банк обязуется учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка.
Величина этой суммы составит: РУ= 50 * (1 — 15 / 360 * 0,3) = 49,375 тыс. руб.
Разность между FV (номинальной величиной векселя) и PV (дисконтированной величиной векселя) представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу; в данном примере она составила 625 руб.
|
|
|
