 |
Аннуитеты и их оценка. Метод депозитной книжки
|
|
|
|
Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета. Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока.
Поток однонаправленных платежей с равными временными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом.
Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т.д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.
Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:
• величиной каждого отдельного платежа;
• интервалом времени между двумя последовательными платежами;
• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода;
• процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы имеем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – самый распространенный случай.
Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью.
Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным.
Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.
|
|
|
Аннуитет еще называют финансовой рентой или просто рентой.
Любое денежное поступление называется членом ренты, а величина постоянного временного интервала между двумя последовательными денежными поступлениями называется периодом аннуитета (периодом ренты).
Прямая задача оценки срочного аннуитета постнумерандо при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке (r) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета. Как следует из логики, присущей схеме аннуитета постнумерандо, наращенный денежный поток имеет вид: А * (1+r)n-1, А * (1+r)n-2, … А * (1+r), А,
a формула: 
Входящий в формулу множитель FM3 (r, n) называется мультиплицирующим множителем для аннуитета, или коэффициентом наращения ренты (аннуитета), и представляет собой сумму n первых членов геометрической прогрессии, начинающейся с 1, и знаменателем (1+r).
Таким образом, 
Из формулы следует, что FM3 (r, n) показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления, в связи с этим множитель FM3 (r, n) называют также коэффициентом аккумуляции вкладов.
Пример.
Вам предлагают сдать в аренду участок на 3 года, выбрав один из 2 вариантов оплаты аренды:
1) 10 000 руб. в конце каждого года;
2) 35 000 руб. в конце трехлетнего периода.
Какой вариант более предпочтителен, если банковская процентная ставка установлена в пределах 20% годовых по вкладам?
Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 000 руб. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм, как минимум, на условиях 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии со следующим алгоритмом:
|
|
|
= А * FM3 (20%, 3) = 10 000 * 3,640 = 36 400 руб.
Расчет показывает, что первый вариант более предпочтителен.
Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, начиная с которого отсчитываются равные временные интервалы, входящие в аннуитет.
Формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо 
выводится из базовой формулы и имеет вид: 
Множитель FM4 (r, п) называется дисконтирующим множителем для аннуитета, или коэффициентом дисконтирования ренты (аннуитета).
Данный коэффициент можно рассчитать по формуле: 
Значение дисконтирующего множителя FM4 (r, п): он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося п равных периодов с заданной процентной ставкой r.
Значения этого множителя также табулированы.
Так, для примера, представленного выше:
FM4 (r, п) = 2,106, поэтому: = 10 * 2,106 = 21,06 тыс. руб.
Смысл сделанных расчетов состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета может быть оценена в 21,06 тыс. руб.
Соответствующие расчетные формулы для аннуитета пренумерандо, учитывая что данный аннуитет, также как и в случае с денежными потоками, превышает аннуитет постнумерандо, выглядят следующим образом:
Приведенная стоимость аннуитета пренумерандо:
Пример.
Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 000 руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет? В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить. В соответствии с формулой найдем искомую сумму 
:
= 10 * (1 + 0,2) * FM3(20%, 3) = 10000 * 1,2 * 3,640 = 43 680 руб.
|
|
|
