Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Дифференцирование неявных функций

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

“ Приложения производной функции одной действительной переменной ”

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск 2011

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

УТВЕРЖДЕНЫ

Научно-методическим

Советом академии

Протокол № ____

oт “____”___________2011 г.

“ Приложения производной функции одной действительной переменной ”

Брянск 2011

Авторы:

Антоненкова Ольга Евгеньевна

Баранова Ирина Михайловна

Часова Наталья Александровна

Рецензент: профессор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.

Рассмотрены УМК МТФ

Протокол № от

Содержание

Введение. 5

1. Определение производной. Дифференцирование функций. 6

2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали 7

3. Дифференцирование неявных функций. 9

4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 11

5. Производные и дифференциалы высших порядков. 13

6. Правило Лопиталя. 14

7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков 16

8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 28

9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин. 29

Варианты заданий для РГР. 33

Литература. 44

Введение

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Определение производной. Дифференцирование функций

Производной функцииу = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:

. (1)

Если этот предел конечный, то производная существует, а функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается или ,или Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций. Пусть С Î R – постоянная, и = и (х), v = v (x) — функции, имеющие производные.

1.	С ' = 0.	4.	(Си) ' =С ∙ u'.
2.	(u ± v) ' = и' ± v'.	5.	.
3.	(u ∙ v) ’ =u’ ∙ v + u ∙ v’.

6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y = f (u) дифференцируема по и, а функция и = φ (x) – по х, то сложная функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x).

Таблица производных элементарных функций

1.	9.	cos u× u ¢
2.	10.
3.	11.	(ctg u)
4.	12.
5.	13.
6.	14.
7.	15.
8.

16. (логарифмическая производная).

2. Геометрические приложения производной.
Уравнения касательной и нормали

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f (x) в точке х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к кривой y = f (x) в точке (х ₀; f (x ₀)), т.е. равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси О х (рис.1).

Если функция f дифференцируема в точке х ₀, то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .

Рисунок 1 – Геометрическое приложение производной.

Тогда уравнение касательной имеет вид

. (2)

Прямая, проходящая через точку M₀(x ₀; y ₀) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции в точке M₀(x ₀; y ₀). Тогда , и, значит, уравнение нормали имеет вид

. (3)

Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

, (4)

причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”– тупому.

Если , то касательные – взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример 2.1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x ₀=1.

Решение. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x ₀имеет вид (2).

Вычислим значение функции в данной точке: .

Найдем производную функции и ее значение в данной точке:

, .

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

, – уравнение касательной.

Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x ₀имеет вид (3).

Подставим найденные значения в это уравнение:

, – уравнение нормали.

Пример 2.2. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции – парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны; значит их угловые коэффициенты равны: k ₁ = y′ ₁ , , . Следовательно, x ₀ = 3 – абсцисса точки касания параболы и прямой , – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).

Рисунок 2 – Иллюстрация к примеру 2.2.

Дифференцирование неявных функций

Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале , если для всех выполняется равенство .

Для вычисления производной функции следует продифференцировать по тождество , помня, что есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 3.1. Найти значение в точке для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:

откуда .

Полагая x = 1, y = –1, находим

Пример 3.2. Найти величину угла между касательными, проведенными в точках пересечения кривой x ² + y ² – 4 x + 4 y + 3 = 0 с осью Ox. Сделать чертеж.

Решение. Поступая по аналогии с предыдущим примером, находим:

y' = (*)

Точки пересечения данной кривой с прямой y = 0 являются решениями следующей системы:

Таких точек две: А (1;0) и В (3;0). Полагая x =1, y = 0, находим согласно (*) угловой коэффициент k ₁касательной к данной кривой в точке А:

k ₁= у' (А) = = .

Аналогично находим угловой коэффициент k ₂ касательной в точке В:

k ₂ = у' (В) = . Угол θ удовлетворяет равенству , значит , откуда .

Прежде чем сделать чертеж, преобразуем данное уравнение в уравнение (х – 2) ² + (у + 2)²= 5, которое определяет окружность с центром О' (2;2) и радиусом R= (рис.3).

Рисунок 3 – Иллюстрация к примеру 3.2.

4. Дифференциал функции.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х ₀. Дифференциалом функции f (x) в точке х ₀ называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента . Обозначается dy, . Таким образом, согласно определению