Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Дифференцирование неявных функций





Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

Приложения производной функции одной действительной переменной

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск 2011


Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

УТВЕРЖДЕНЫ

Научно-методическим

Советом академии

Протокол № ____

oт “____”___________2011 г.

Приложения производной функции одной действительной переменной

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск 2011

 

Авторы:

Антоненкова Ольга Евгеньевна

Баранова Ирина Михайловна

Часова Наталья Александровна

Рецензент: профессор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.

 

Рассмотрены УМК МТФ

Протокол № от


Содержание

Введение. 5

1. Определение производной. Дифференцирование функций. 6

2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали 7

3. Дифференцирование неявных функций. 9

4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 11

5. Производные и дифференциалы высших порядков. 13

6. Правило Лопиталя. 14

7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков 16

8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 28

9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин. 29

Варианты заданий для РГР. 33

Литература. 44




Введение

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.


Определение производной. Дифференцирование функций

 

Производной функцииу = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:

. (1)

Если этот предел конечный, то производная существует, а функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается или ,или Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций. Пусть С Î R– постоянная, и = и (х), v = v(x) функции, имеющие производные.

1. С ' =0. 4. (Си)' =С ∙ u' .
2. (u ± v)' = и' ± v'. 5. .
3. (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’.    

6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y = f (u) дифференцируема по и, а функция и = φ (x)по х, то сложная функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x) .

Таблица производных элементарных функций

1. 9. cos u× u¢
2. 10.
3. 11. (ctg u)
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8.    

16. (логарифмическая производная).

2. Геометрические приложения производной.
Уравнения касательной и нормали

 

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х0; f(x0)), т.е. равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох (рис.1).

Если функция f дифференцируема в точке х0, то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .

Рисунок 1 – Геометрическое приложение производной.

 

Тогда уравнение касательной имеет вид

. (2)

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции в точке M0(x0;y0). Тогда , и, значит, уравнение нормали имеет вид

. (3)

Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

, (4)

причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”– тупому.

Если , то касательные – взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример 2.1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x0=1.

Решение. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид (2).

Вычислим значение функции в данной точке: .

Найдем производную функции и ее значение в данной точке:

, .

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

, – уравнение касательной.

Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид (3).

Подставим найденные значения в это уравнение:

, – уравнение нормали.

Пример 2.2. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции – парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны; значит их угловые коэффициенты равны: k1 = y′1 , , . Следовательно, x0 = 3 – абсцисса точки касания параболы и прямой , – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).

Рисунок 2 – Иллюстрация к примеру 2.2.

Дифференцирование неявных функций

 

Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале , если для всех выполняется равенство .

Для вычисления производной функции следует продифференцировать по тождество , помня, что есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 3.1.Найти значение в точке для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:

,

откуда .

Полагая x = 1, y = –1, находим

.

Пример 3.2.Найти величину угла между касательными, проведенными в точках пересечения кривой x2 + y2 – 4 x + 4 y + 3 = 0 с осью Ox. Сделать чертеж.

Решение. Поступая по аналогии с предыдущим примером, находим:

y' = (*)

Точки пересечения данной кривой с прямой y = 0 являются решениями следующей системы:

Таких точек две: А(1;0) и В(3;0). Полагая x =1, y =0, находим согласно (*) угловой коэффициент k1 касательной к данной кривой в точке А:

k1 = у' (А ) = = .

Аналогично находим угловой коэффициент k2 касательной в точке В:

k 2 = у' (В ) = . Угол θ удовлетворяет равенству , значит , откуда .

Прежде чем сделать чертеж , преобразуем данное уравнение в уравнение (х – 2) 2 + (у + 2) 2 = 5, которое определяет окружность с центром О'(2;2) и радиусом R= ( рис.3).

Рисунок 3 – Иллюстрация к примеру 3.2.

 

4. Дифференциал функции.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям

 

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0.Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента . Обозначается dy, . Таким образом, согласно определению

.

Рассмотрим функцию , , то есть для независимого аргумента х дифференциал и приращение совпадают: .

Дифференциалом независимой переменной х называется ее приращение : .

Тогда из определения дифференциала следует

.

Из определения производной и дифференциала следует, что при малых справедливо приближенное равенство: или формула:

(5)

Пример 4.1. Вычислить приближенно: .

Решение. Для приближенного вычисления будем использовать формулу (5).

В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю: , .

Подставим эти значения в формулу (5):

Ответ: .

Пример 4.2. Вычислить приближенно .

Решение. Для приближенного вычисления будем использовать формулу (5)

В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю: , .

Подставим эти значения в формулу (5):

.

Ответ: .





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015- 2019 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.