Линейный оператор и его матрица.

Оператором над линейным пространством L (или преобразованием L) называется однозначное отображение , при котором каждому вектору ставится в соответствии единственный вектор . Обозначение: . Вектор Х называется прообразом У, а У – образом Х. Оператор называется линейным если выполняются условия:

1)аддитивности

2)однородности . Пусть – n-мерное линейное пространство, -базис в нём, и –линейный оператор над . Пусть . Тогда т.е., зная образы базисных векторов, мы можем восстановить образ любого вектора из .

Найдём образы базисных векторов:

Матрица называется матрицей линейного оператора в базисе и обозначается . Иногда индекс е опускается, если и так ясно, о каком базисе идёт речь. Матрицей л.о. называется матрица, столбцы которой состоят из координат(в базисе ) образов (под действием ) базисных векторов.

 

 

Билет 66, 67,68

Матрицы, операции над ними, обратная матрица. Определители и их свойства.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, заключенная в круглых скобках.

ОПЕРАЦИИ:

Обратная матрица:

Матрица называется обратной матрицей А, если = = Е

Теорема:

Для того чтобы матрица А, имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невыраженной

Матрица называется невыраженной, определитель А не равен нулю и выражен, если определитель А = 0

Необходимо!!!

Достаточно!!!

Определители:

В каждой матрице ставится в соответствии число, называемое определителем.

Определитель – Это число, соответствующее квадратной матрице.

 

Обозначения:

Свойства определителей:

2)Если у матрицы поменять местами 2-е строки(2-а столбца), то ее определитель сменит знак:

Следствие 1: Если у матрицы 2-е строки (столбца) одинаковые, то определитель этой матрицы равен нулю.

3)Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

Следствие 2: Если у матрицы 2-е строки(столбца) пропорциональны, то определитель этой матрицы равен нулю.

Следствие 3: Если у матрицы есть нулевая строка(столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

4)

5)Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки(столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки(столбца), умноженные на некоторое одно и тоже число:

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки(столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки(столбца) равна нулю.

Билет 21

Метод Гаусса - универсальный способ решения линейных уравнений. Определяется принадлежность тому или иному классу (совместность, определённость). Состоит из трёх этапов1)(подготовительный)Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду. 2)В ходе исследования требуется выяснить:а)совместна ли система(равен ли ранг матрицы системы рангу расширенной матрицы.), б)чему равен ранг, в)какие переменные выбрать за базисные, кол-во переменных =r, но не любые могут быть базисными, а только те у которых соответствующие им столбцы ступенчатого вида не входят в базисный минор этой матрицы Рассмотрим выступающие части «ступенек». Теперь в каждой такой части выберем нулевой элемент, который с гарантией, что он существует. Эти столбцы и соответствуют переменным, которые мы выберем за базисные. Остальные переменные свободные. 3) «обратный ход». Выражаем все базисные переменные через свободные

Для этого мы должны преобразовать расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями строк к такому виду, в котором каждый столбец, соответствующий базисной переменной, содержит только один ненулевой элемент (который мы вы­деляли на предыдущем этапе), причём этот элемент равен 1. Это преоб­разование соответствует исключению базисных переменных из "верхних уравнений". Третий этап носит название "обратный ход", потому что тре­буемые преобразования удобно проводить "снизу вверх": сначала исклю­чить последнюю базисную переменную из всех строк, кроме последней ненулевой, потом перейти к следующей снизу, и т.д. Проведя все необходимые преобразования, запишем систему линейных уравнений, соот­ветствующую полученной.расширенной матрице. Заметим, что эта си­стема эквивалентна' исходной, и в каждое уравнение входит ровно одна базисная переменная, причём с коэффициентом 1, что очень облегчает выражение базисных переменных через свободные.

Заметим, что последний этап можно также проводить и не в матрич­ном виде, а непосредственно преобразуя систему линейных уравнений, соответствующую ступенчатому виду расширенной матрицы системы. Обратите внимание, что в последнее уравнение этой системы входит только одна базисная переменная и её легко выразить через свободные. Это выражение подставим в предпоследнее уравнение и из него выразим следующую базисную переменную, и так далее, снизу вверх. В результа­те этих выражений также получим требуемое общее решение системы.

Билет 69, 70

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: