Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Разложение функций в ряды





Разложение в степенной ряд

Огромное разнообразие функций давно заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного представления. К таким представлениям относятся различные ряды, сходящиеся к значениям функций в окрестности заданной точки. Для разложения функции или выражения ехрr в обычный степенной ряд служат функции series(ехрr, eqn) и series(expr, eqn, n). Здесь ехрr — разлагаемое выражение, eqn — условие (например, в виде х=а) или имя переменной (например, х) и n — необязательное и неотрицательное целое число, задающее число членов ряда (при его отсутствии оно по умолчанию берется равным 6, но может переустанавливаться системной переменной Order). Если в качестве eqn задано имя переменной, то это соответствует разложению по этой переменной в области точки с ее нулевым значением. Задав eqn в виде х=х0, можно получить разложение по переменной х в окрестности точки х = х0.

Разложение получается в форме степенного многочлена, коэффициенты которого задаются рациональными числами. Остаточная погрешность задается членом вида 0(х)^n. При точном разложении этот член отсутствует. В общем случае для его удаления можно использовать функцию convert. Ниже представлены примеры разложения различных выражений в ряд:

Здесь видно, что член, обозначающий погрешность, отсутствует в тех разложениях, которые точны, например, в разложениях степенных многочленов. Для визуализации приближения рядами заданных аналитических зависимостей очень полезно построить на одном графике кривые аналитической зависимости и разложения в ряд. Мы это покажем чуть позже на примере ряда Тейлора.

Gif

Разложение в ряды Тейлора и Маклорена

Разложение в ряды Тейлора и Маклорена

Для разложения в ряд Тейлора используется функция taylor(expr, eq/nm, n). Здесь ехрr — разлагаемое в ряд выражение, eq/nm — равенство (в виде х=а) или имя переменной (например, х), n — необязательный параметр, указывающий на порядок разложения и представленный целым положительным числом (при отсутствии указания порядка он по умолчанию принимается равным 6). При задании eq/nm в виде х=а разложение производится относительно точки х =а. При указании eq/nm в виде просто имени переменной разложение ищется в окрестности нулевой точки, то есть фактически вычисляется ряд Маклорена.



Ниже представлены примеры применения функции taylor:

Не все выражения (функции) имеют разложение в ряд Тейлора. Ниже дан пример такого рода:

> taylor(l/x+x^2,x,5):

Error, does not have a taylor expansion, try seriesQ

> series(l/x+x^2,x,10);

je-4*2

> taylor(l/x+x*2,x=l,5);

2 +x - 1 + 2(x - 1f - (x - 1 )3 +(x - 1 )4 +O((x- 1 )5)

Здесь Maple 7 отказалась от вычисления ряда Тейлора в окрестности точки х = 0 (по умолчанию) и предложил воспользоваться функцией series. Однако эта функция просто повторяет исходное разложение. В то же время в окрестности точки х = 1 ряд Тейлора вычисляется.

Для разложения в ряд Тейлора функций нескольких переменных используется библиотечная функция mtaylor:

mtaylor(f. v)

mtaylorCf. v. n)

mtaylor(f. v, n, w)

Здесь f — алгебраическое выражение, v — список имен или равенств, n — необязательное число, задающее порядок разложения, w — необязательный список целых чисел, задающих «вес» каждой из переменных списка v. Эта функция должна вызываться из библиотеки Maple 7 с помощью команды readlib:

Для получения только коэффициента при k=м члене ряда Тейлора можно использовать функцию coeftayl (expr,var,k). Если ехрr — функция нескольких переменных, то k должен задаваться списком порядков коэффициентов.

Gif

Gif





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015- 2020 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.