Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Вычисление пределов последовательностей.




Математический анализ

Множества.

 

Множество – это совокупность однородных объектов, называемых элементами.

 

Множества могут состоять из чисел, векторов, функций и других объектов.

Множества обозначаются прописными буквами – А, В, С,, а их элементы строчными - буквами a, b, c.

Если элемент a принадлежит множеству А, то это обозначается как , если элемент a не принадлежит множеству А, то это обозначается .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы множества В принадлежат множеству А. Это обозначается как операция включения: .

Множества называются равными, если их элементы равны.

Объединением множеств А и В называется множество С, если элементы которого принадлежат или А, или В, или обоим множествам, то есть, хотя бы одному из данных множеств

Пересечением множеств А и В называется множество D, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих и множеству А и множеству В .

Разностью множеств А и В называется множество Е,состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Числовые последовательности.

 

Числовой последовательностью называется бесконечное множество вещественных чисел, следующих друг за другом и связанных между собой зависимостью от НОМЕРА в последовательности.

Числа называются элементами, или членами последовательности.

- первый член последовательности,

- общий член последовательности.

Последовательность обозначается как .

Например, если дана последовательность , то она имеет вид

, т.к. при

и т.д.

 

Последовательность можно представить в виде

Последовательность записывается в виде

 

Общий вид последовательности часто нужно определить по ее общему члену.

 

Пример. Если последовательность задана как , то общий член равен

Предел последовательности.

 

Пределом последовательности называется число А, если для любого положительного, сколь угодно малого числа существует такой номер элемента N, что для всех последующих номеров выполняется неравенство

,

то есть все следующие элементы последовательности будут отличаться от предела А на величину, меньшую, чем .

 

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

 

Предел последовательности обозначается так:

 

Очевидно, что члены последовательности стремятся к нулю, при (чем на большее число производится деление, тем меньший результат получается),

то есть

 

Очевидно так же, что последовательности и т.п. тоже имеют предел, равный нулю.

Последовательности, предел которых равен нулю,

 

называются бесконечно малыми.

Последовательности, не имеющие конечных пределов,

 

называются бесконечно большими.

Если последовательность - бесконечно малая, то последовательность является бесконечно большой.

 

 

Вычисление пределов последовательностей.

 

*** При вычислении пределов при нужно пользоваться известным пределом бесконечно малых последовательностей и т.п.

 

Заданные последовательности нужно приводить к бесконечно малым последовательностям - привести возможные элементы числителя и знаменателя последовательности к бесконечно малым вынесением за скобки наибольшей степени многочлена.

 

Пример 1. Вычислить предел последовательности

так как

 

Пример 2. Вычислить предел последовательности

Вынесение наибольшей степени многочлена и приведение к бесконечно малым можно проводить внутри степени (и корня).

 

 

Пример 3. ,

потому что функция является убывающей, так как это показательная функция с основанием , то есть . Следовательно,

 

 

Пример 4. Вычислить предел последовательности

 

Предел представляет собой неопределенность .

 

Для того, чтобы от нее избавиться, нужно произвести избавление от иррациональности.

 

** Из алгебры известно, что

 

Если в качестве элементов и используются корни, то формула принимает вид:

 

 

Таким образом, чтобы избавить выражение от корня, нужно умножить его на выражение, с аналогичными элементами, но с противоположным знаком. Такое выражение называется сопряженным. Чтобы последовательность не изменилась, нужно на такое же выражение последовательность разделить.

 

 

Очевидно, что в числителе можно избавиться от корней и преобразовать полученное выражение

 

 

В знаменателе выполняются действия так же, как и в примере 2.

 

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...