Вычисление пределов последовательностей.
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Математический анализ Множества.
Множество – это совокупность однородных объектов, называемых элементами.
Множества могут состоять из чисел, векторов, функций и других объектов. Множества обозначаются прописными буквами – А, В, С,, а их элементы строчными - буквами a, b, c. Если элемент a принадлежит множеству А, то это обозначается как , если элемент a не принадлежит множеству А, то это обозначается . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается . Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы множества В принадлежат множеству А. Это обозначается как операция включения: . Множества называются равными, если их элементы равны. Объединением множеств А и В называется множество С, если элементы которого принадлежат или А, или В, или обоим множествам, то есть, хотя бы одному из данных множеств Пересечением множеств А и В называется множество D, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих и множеству А и множеству В . Разностью множеств А и В называется множество Е,состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В . Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Числовые последовательности.
Числовой последовательностью называется бесконечное множество вещественных чисел, следующих друг за другом и связанных между собой зависимостью от НОМЕРА в последовательности. Числа называются элементами, или членами последовательности. - первый член последовательности, - общий член последовательности. Последовательность обозначается как . Например, если дана последовательность , то она имеет вид
, т.к. при и т.д.
Последовательность можно представить в виде Последовательность записывается в виде
Общий вид последовательности часто нужно определить по ее общему члену.
Пример. Если последовательность задана как , то общий член равен Предел последовательности.
Пределом последовательности называется число А, если для любого положительного, сколь угодно малого числа существует такой номер элемента N, что для всех последующих номеров выполняется неравенство , то есть все следующие элементы последовательности будут отличаться от предела А на величину, меньшую, чем .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Предел последовательности обозначается так:
Очевидно, что члены последовательности стремятся к нулю, при (чем на большее число производится деление, тем меньший результат получается), то есть
Очевидно так же, что последовательности и т.п. тоже имеют предел, равный нулю. Последовательности, предел которых равен нулю,
называются бесконечно малыми. Последовательности, не имеющие конечных пределов,
называются бесконечно большими. Если последовательность - бесконечно малая, то последовательность является бесконечно большой.
Вычисление пределов последовательностей.
*** При вычислении пределов при нужно пользоваться известным пределом бесконечно малых последовательностей и т.п.
Заданные последовательности нужно приводить к бесконечно малым последовательностям - привести возможные элементы числителя и знаменателя последовательности к бесконечно малым вынесением за скобки наибольшей степени многочлена.
Пример 1. Вычислить предел последовательности так как
Пример 2. Вычислить предел последовательности Вынесение наибольшей степени многочлена и приведение к бесконечно малым можно проводить внутри степени (и корня).
Пример 3. , потому что функция является убывающей, так как это показательная функция с основанием , то есть . Следовательно,
Пример 4. Вычислить предел последовательности
Предел представляет собой неопределенность .
Для того, чтобы от нее избавиться, нужно произвести избавление от иррациональности.
** Из алгебры известно, что
Если в качестве элементов и используются корни, то формула принимает вид:
Таким образом, чтобы избавить выражение от корня, нужно умножить его на выражение, с аналогичными элементами, но с противоположным знаком. Такое выражение называется сопряженным. Чтобы последовательность не изменилась, нужно на такое же выражение последовательность разделить.
Очевидно, что в числителе можно избавиться от корней и преобразовать полученное выражение
В знаменателе выполняются действия так же, как и в примере 2.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|