Задания для самостоятельной работы
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 1. Записать первые пять членов последовательностей: 1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8)
2. Определить общий член последовательности по ее первым элементам: 1) 2) 3) 4)
3. Вычислить значения пределов последовательностей:
9) 10) 11) 12)
13) 14) 15)
16) 17) 18)
Понятие функции
Есть каждому значению из множества Х ставится в соответствие множество значение из множества У, то задается функция У от Х.
Функцией называется однозначная зависимость переменной У от переменной Х.
При этом переменная Х - независимая переменная и называется аргументом. !!! В качестве функций могут рассматриваться различные зависимости – зависимость спроса от цены продукции, цены товара от предложения, скорость движения тела от времени, значения давления в газе от температуры и так далее.
Способы задания функции:
· аналитический – представление функции в виде формулы
· табличный – зависимость У от Х задается в виде таблицы значений
· графический – наглядное отображение зависимости У от Х задается в виде графика в системе координат Предел функции в точке. Представим функцию в графическом виде
0 слева справа
Рассмотрим последовательность значений , , , предел которой сходится к значению . Им соответствуют значения функции, которые тоже составляют последовательность , сходящуюся к . Определение предела по Гейне: Пределом функции в точке (или пределом функции при ) называется значение А, если к значению А стремится предел последовательности , элементы которой соответствуют последовательности , пределом которой является значение .
При этом последовательность может стремиться к от меньших значений при – слева – предел СЛЕВА И от больших значений - при – справа – предел СПРАВА:
Условие существования предела функции в точке. Функция имеет предел в точке только тогда, если существуют пределы слева и справа и их значения равны. Определение предела по Коши: Число А называется пределом функции при х, стремящихся к (), если для любого, сколь угодно малого числа положительного числа () существует такое число , что для всех х, удовлетворяющих условию выполняется неравенство , Свойства пределов функций и последовательностей.
Вычисление пределов функций.
*** При вычислении пределов при нужно подставить значение в заданную функцию.
При определении пределов отношения обычно возникают НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Их нужно раскрыть с помощью преобразования функции.
Пример 1. Вычислить предел функции
Пример 2. Вычислить предел функции
В результате подстановки возникла неопределенность , которую нужно раскрыть, преобразовав функцию.
Для этого используются формулы сокращенного преобразования и разложение квадратного трехчлена с помощью определения его корней:
Разложение на множители квадратного трехчлена определяется по формуле: ,
где и - корни уравнения , вычисляемые по формуле
Исходя из этого, получаем,
Пример 3. Вычислить предел функции Очевидно, что при подстановке возникает неопределенность , которую нужно раскрыть, используя алгебраические преобразования, дополнив их действием замены переменной:
Пусть , следовательно, . Тогда числитель и знаменатель принимают вид выражений, которые легко раскладывается на множители:
Возвращаясь к первоначальной переменной, нужно записать
Действия в знаменателе выполняются аналогично:
Подстановка в предел функции полученных выражений, приводит к следующему
Очевидно, что одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить и затем подставить в функцию значение, к которому стремится х -
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|