 |
Задания для самостоятельной работы
|
|
|
|
1. Записать первые пять членов последовательностей:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
2. Определить общий член последовательности по ее первым элементам:
1) 
2) 
3) 
4) 
3. Вычислить значения пределов последовательностей:
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
Понятие функции
Есть каждому значению из множества Х ставится в соответствие множество значение из множества У, то задается функция У от Х.
Функцией называется однозначная зависимость переменной У от переменной Х.
При этом переменная Х - независимая переменная и называется аргументом.
!!! В качестве функций могут рассматриваться различные зависимости – зависимость спроса от цены продукции, цены товара от предложения, скорость движения тела от времени, значения давления в газе от температуры и так далее.
Способы задания функции:
· аналитический – представление функции в виде формулы 
· табличный – зависимость У от Х задается в виде таблицы значений
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
· графический – наглядное отображение зависимости У от Х задается в виде графика в системе координат
Предел функции в точке.
Представим функцию в графическом виде
 |
 |
0
 |
слева справа
Рассмотрим последовательность значений 
, 
, , предел которой сходится к
значению 
.
Им соответствуют значения функции, которые тоже составляют последовательность
, сходящуюся к 
.
Определение предела по Гейне:
Пределом функции 
в точке 
(или пределом функции при 
) называется значение А,
если к значению А стремится предел последовательности 
, элементы которой соответствуют последовательности 
, пределом которой является значение 
.
|
|
|
При этом последовательность 
может стремиться к 
от меньших значений
при 
– слева – предел СЛЕВА 
И от больших значений - при 
– справа – предел СПРАВА: 
Условие существования предела функции в точке.
Функция 
имеет предел в точке 
только тогда, если существуют пределы слева и справа и их значения равны.
Определение предела по Коши:
Число А называется пределом функции 
при х, стремящихся к 
(
), если для любого, сколь угодно малого числа положительного числа 
(
) существует такое число 
, что для всех х, удовлетворяющих условию 
выполняется неравенство 
,
Свойства пределов функций и последовательностей.
- Функция не может иметь более одного предела
Вычисление пределов функций.
*** При вычислении пределов при 
нужно подставить значение 
в заданную функцию.
При определении пределов отношения обычно возникают НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Их нужно раскрыть с помощью преобразования функции.
Пример 1. Вычислить предел функции 
Пример 2. Вычислить предел функции 
В результате подстановки возникла неопределенность 
, которую нужно раскрыть, преобразовав функцию.
Для этого используются формулы сокращенного преобразования и разложение квадратного трехчлена с помощью определения его корней:
Разложение на множители квадратного трехчлена определяется по формуле:
,
где 
и 
- корни уравнения 
, вычисляемые по формуле
Исходя из этого, получаем,
Пример 3. Вычислить предел функции 
Очевидно, что при подстановке 
возникает неопределенность 
, которую нужно раскрыть, используя алгебраические преобразования, дополнив их действием замены переменной:
Пусть 
, следовательно, 
. Тогда числитель и знаменатель принимают вид выражений, которые легко раскладывается на множители:
|
|
|
Возвращаясь к первоначальной переменной, нужно записать 
Действия в знаменателе выполняются аналогично:
Подстановка в предел функции полученных выражений, приводит к следующему
Очевидно, что одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить и затем подставить в функцию значение, к которому стремится х -
|
|
|
