Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Задания для самостоятельной работы




1. Записать первые пять членов последовательностей:

1) 2) 3) 4) 5)

 

6) 7) 8)

 

 

2. Определить общий член последовательности по ее первым элементам:

1) 2) 3) 4)

 

 

3. Вычислить значения пределов последовательностей:

 

9) 10) 11) 12)

 

 

13) 14) 15)

 

 

16) 17) 18)

 

Понятие функции

 

Есть каждому значению из множества Х ставится в соответствие множество значение из множества У, то задается функция У от Х.

 

Функцией называется однозначная зависимость переменной У от переменной Х.

 

При этом переменная Х - независимая переменная и называется аргументом.

!!! В качестве функций могут рассматриваться различные зависимости – зависимость спроса от цены продукции, цены товара от предложения, скорость движения тела от времени, значения давления в газе от температуры и так далее.

 

Способы задания функции:

 

· аналитический – представление функции в виде формулы

 

· табличный – зависимость У от Х задается в виде таблицы значений

 

 

· графический – наглядное отображение зависимости У от Х задается в виде графика в системе координат

Предел функции в точке.

Представим функцию в графическом виде

 

 
 

 

 

 

 
 

0

 
 

слева справа

 

Рассмотрим последовательность значений , , , предел которой сходится к

значению .

Им соответствуют значения функции, которые тоже составляют последовательность

, сходящуюся к .

Определение предела по Гейне:

Пределом функции в точке

(или пределом функции при ) называется значение А,

если к значению А стремится предел последовательности , элементы которой соответствуют последовательности , пределом которой является значение .

 

При этом последовательность может стремиться к от меньших значений

при – слева – предел СЛЕВА

И от больших значений - при – справа – предел СПРАВА:

 

Условие существования предела функции в точке.

Функция имеет предел в точке только тогда, если существуют пределы слева и справа и их значения равны.

Определение предела по Коши:

Число А называется пределом функции при х, стремящихся к (), если для любого, сколь угодно малого числа положительного числа () существует такое число , что для всех х, удовлетворяющих условию выполняется неравенство ,

Свойства пределов функций и последовательностей.

 

  1. Функция не может иметь более одного предела

 

 

 

 

 

 

Вычисление пределов функций.

 

*** При вычислении пределов при нужно подставить значение в заданную функцию.

 

При определении пределов отношения обычно возникают НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

 

Их нужно раскрыть с помощью преобразования функции.

 

 

Пример 1. Вычислить предел функции

 

 

Пример 2. Вычислить предел функции

 

 

В результате подстановки возникла неопределенность , которую нужно раскрыть, преобразовав функцию.

 

Для этого используются формулы сокращенного преобразования и разложение квадратного трехчлена с помощью определения его корней:

 

 

 

Разложение на множители квадратного трехчлена определяется по формуле:

,

 

где и - корни уравнения , вычисляемые по формуле

 

Исходя из этого, получаем,

 

 

Пример 3. Вычислить предел функции

Очевидно, что при подстановке возникает неопределенность , которую нужно раскрыть, используя алгебраические преобразования, дополнив их действием замены переменной:

 

Пусть , следовательно, . Тогда числитель и знаменатель принимают вид выражений, которые легко раскладывается на множители:

 

Возвращаясь к первоначальной переменной, нужно записать

 

Действия в знаменателе выполняются аналогично:

 

Подстановка в предел функции полученных выражений, приводит к следующему

 

 

Очевидно, что одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить и затем подставить в функцию значение, к которому стремится х -

 

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...