 |
Способы определения понятий.Структура определения через род и видовое отличие
|
|
|
|
Множества и операции над ними. Понятие множества. Элементы множества. Пустое множество.
Примеры конечных и бесконечных множеств.Способы задания множества. Подмножества
Под множеством в математике понимают некий набор, совокупность предметов, как например множество учащихся в классе, множество цветов в саду.
Множества бывают конечные и бесконечные.Множества состоящие из конечного числа предметов называються конечными, состоящиеиз бесконечного – бесконечные, не содержащие элементов – пустые.
A,B,C,D-множества
A,b,c,d- элементы множества
Способы задания множества:
·Путем перечисления его элементов (исп. Фигурные скобки)
·С помощью характеристического свойства, которым обладает каждый элемент пренадлежащий данному множеству и не обладает ни один элемент не принадлежащий множеству.
A={ название элемента | указываються свойства}
Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А является подмножеством В.
А ⊂В
В ⊃ А- множество В включает в себя А
Любое не пустое подмножество В множества А, не совпадающее с ним, называется собственным подмножеством.
Подмножество А и пустое множество называют не собственными подмножествами.
Не собственные подмножества
{1; 2; 3;4} Ø
Универсальное множество – это самое «большое» множество, включающее в себя все множества рассматриваемые в данной задачи.
Два множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же же элементов.
Два множества равны тогда и только тогда, когда каждое является подмножеством другого.
А=В <=>(А ⊂В и В ⊃ А)
Универсальное множеств
Универса́льное мно́жество— в математике множество, содержащее все объекты и все множества. Если универсальное множество существует, то оно единственно.
|
|
|
Универсальное множество обычно обозначаетсяU(от англ.universe, universal set), реже Е.
Круги́ Э́йлера[1]— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между
подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике,логике,менеджменте и других прикладных направлениях.
Важный частный случай кругов Эйлера—диаграммы Эйлера— Венна, изображающие все 2 в степени n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3диаграмма Эйлера— Венна обычно изображается в виде трёх кругов сцентрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
Пример:
Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B:
А = {1, 2, 3, 4, 6, 12},
B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C:
C = {1, 2, 3, 6).
Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так:
А ∩B =C.
Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств являетсяпустое множество.
Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:
X ∩Y = Ø.
Объединение двух множеств– это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.
Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:
D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).
Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:
D =AUB.
Разность двух множеств— это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств А и В обозначается как А/В, но иногда можно встретить обозначение А-В.
|
|
|
Дополнением(дополнением до универсального множества)множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества не содержащихся в А.
Декартовым произведением множеств АиВ называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В.Обозначают АхВ.Таким образом АхВ = {(x;y) xєA, yєB}.
Законы операций над множествами. Понятие разбиения множества на попарно-непересекающиеся подмножества(классы).Разбиение множества на классы с помощью одного, двух, трёх свойств.
Законы операций над множествами
1. Коммутативные законы
А Ç В =В Ç А
А È В = В È А
2. Ассоциативные законы
А Ç (В Ç С) = (А Ç В)Ç С
А È (В È С) = (А ÈВ)È С
3. Дистрибутивные законы
А Ç (В È С) = (А Ç В)È (А Ç С)
А È (В Ç С) =(А È В)Ç (А È С)
4. А Ç А=А
А È А=А
5.А Ç I=А
А È I = I
6. А Ç Æ= Æ
А È Æ= А
7. А Ç А'= Æ
А È А' =I
8.
9.А \ В=А Ç В'
10.(А)'= А
Понятие разбиения множества на попарно-непересекающиеся подмножества(классы).
Теорема. Для того, что бы отношение R позволило разбить множество X на классы, необходимо и достаточно, что бы R было отношением эквивалентности.
Из этой теоремы следует, что если множества (классы) R(a)и R(b) (bЄR(a))имеют хотя бы один общий элемент C, то они совпадают. Таким образом, любые два подмножества R(a)и R(b)либо совпадают, либо не пересекаются. А так как каждый элемент a принадлежит классу R(a), то получим разбиение множества Xна попарно непересекающиеся подмножества.
Разбиение множества на классы с помощью одного, двух, трёх свойств.
Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.
Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.
Определение. Множество А разбито на классы А1, А2,..., Ап, если:
1) подмножества А1, А2,..., Ап не пусты;
2) подмножества А1, А2,..., Ап попарно не пересекаются;
|
|
|
3) объединение подмножеств совпадает с множеством А.
Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной.
Способы определения понятий.Структура определения через род и видовое отличие
Определение через род и видовое отличие состоит из двух понятий: определяемого и определяющего. Включает два приема: 1) подведениеопределяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие (род) и 2) указание видового отличия, то есть признака, отличающего определяемый предмет (вид этого рода) от других видов, входящих в данный род. Чек — ценная бумага, содержащая ничем не обусловленное письменное распоряжение чекодателя банку уплатить держателю чека указанную в нем сумму. Чек —определяемое понятие (А) — вид родового понятия «ценная бумага» (В); остальная часть определения — видовое отличие (с), отличает чек от векселя, облигации и т.д. А=Вс или Dfd ≡ Dfn (≡ знак эквивалентности).
Республика (определяемое понятие А) — форма правления (род В), при которой высшая государственная власть предоставлена выборному органу, избираемому на определенный срок (видовое отличие с).
Обычно указывают ближайший род, который содержит больше признаков общих с признаками определяемого понятия — иногда «определение через ближайший род и видовое отличие».
Генетическое определение — указывает на происхождение предмета, на способ его образования (шар — геометрическое тело, образованное вращением круг вокруг одного из своих диаметров).
Правила определения:
1. Определение должно быть соразмерным — объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего (А=Вс или Dfd ≡ Dfn). Если объем определяющего понятия шире объема определяемого — ошибка слишком широкого определения (A<Bc). Если объем определяющего понятия уже объема определяемого — ошибка слишком узкого определения (A>Bc).
2. Определение не должно заключать в себе круга — при определении одного понятия нельзя прибегать к другому понятию, определяемому при помощи первого (круг) (Вращение — движение вокруг оси; ось — прямая, вокруг которой происходит вращение). Разновидность круга в определении — тавтология — идеалист — человек идеалистических убеждений — определяющее понятие — повторение определяемого.
|
|
|
3. Определение должно быть ясным - должно указывать на известные признаки, не нуждающиеся в определении и не содержащие двусмысленности. Если понятие определяется через другое понятие, признаки которого неизвестны -ошибка определения неизвестного через неизвестное (определение х через у) — социализм — первая стадия коммунизма.
Определение не должно быть отрицательным — отрицательно определение указывает, чем не является предмет, не указывая, чем он является (Сравнение — не доказательство). На определение отрицательных понятий это правило не распространяется (Безбожник — человек, не признающий существование Бога).
6) Понятие высказываний и высказывательные формы(предикаты).Отрицательные высказывания.
|
|
|
