Взаимосвязь функции и плотности распределения вероятностей.

Зная плотность распределения f (x), можно найти функцию распределения F (x) по формуле

Действительно,мы обозначили через F (x) вероятность того, что случайная величина примет значение, мень­шее x. т. е.

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется,по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно:

 

 

Пример.Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Построить график найденной функции.

 

Итак, искомая функция распределения

График этой функции изображен на рис. 2.

 

 

 

 

Рис. 2.

 

Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть F (x)— функция распределения непрерыв­ной случайной величины X. По определению плотности распределения или в иной форме

деляет вероятность того. что Х примет значение, при-

дел отношения вероятности того, что непрерывная слу­чайная величина примет значение, принадлежащее интер­

равен значению плотности распределения в точке x. По аналогии с определением плотности массы в точке *)

----------------------------------------------------------------------------------------------

точке х как плотность вероятности в этой точке.

Итак,функция f (х) определяет плотность распределе­ния вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, чтопри­ращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

Или

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероят­ность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу приближённо равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно )произведению плотности вероятности в точке на длину интервала

Геометрически этот результат можно истолковать так:

вероятность того. что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (х,х+∆х ), приближенно равна площади прямоуголь­ника с основанием ∆х и вы­сотой f(x ).

 

Рис.3

На рис. 3 видно, чтопло­щадь заштрихованного пря­моугольника, равная произведению лишь приближенно равна площади криво­линейной трапеции (истинной вероятности,определяемой определенным интегралом

 

 

Допущенная при этом погрешность равнаплощади криволинейного треугольника А ВС.

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Читайте также:

A) функции государства
I. Понятие док-та и функции док-та.
III. ФУНКЦИИ ЦЕНТРА
S: Выделите функции валютного рынка
АЛКОГОЛЬ И ФУНКЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ОРГАНОВ И СИСТЕМ ОРГАНИЗМА
Анализ как необходимый этап изучения литературного произведения. Своеобразие школьного анализа. Взаимосвязь восприятия и анализа литературных произведений в школе.
Анализ распределения и использования прибыли «Багги-спорт»
Аналитические функции.
Анатомия, физиология и функции кожи.
Арктурианцы десятой плотности

Воспользуйтесь поиском по сайту: