 |
Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины, вдавливаемой в упругое основание равномерно распределенными по ее краям нагрузками.
|
|
|
|
Условия, аналогичные показанным на рис. 1.1, получаются, если длинная прямоугольная пластина (рис. 2.1) вдавливается в упругое основание, равномерно распределенными по ее краям нагрузками величиной F на единицу длины. Пластина вдавливается в упругое основание и изгибается, как показано пунктиром (рис.2.1). Если прогиб на краях пластины обозначить 
, то реакция основания в произвольной точке будет равна:
, (2.1)
где w выражается уравнением (1.3) при замене q на 
, т. е.
(2.2)
Величина находится из условия, что нагрузка уравновешивается реакцией основания. Отсюда
(а)
Выразим гиперболические функции через показательные функции.
; (б)
(в)
Из таблицы интегралов (Д.Б. Двайт) найдем значения интегралов.
Рассмотрим выражение (б).
Предварительно выполним замену переменных.
Тогда
Подставив значения интегралов в выражение (б), получим:
. (г)
Рассмотрим выражение (в)
Подставив значения интегралов в выражение (в), получим:
. (д)
Выражения (г) и (д) подставим в уравнение (а).
или
. (е)
где
.
Выразив показательные функции через гиперболические функции, получим:
Из (1.5) и (1.10) имеем:
, 
.
Тогда
.
Из (1.2) найдем: 
(ж)
Подставив в полученное выражение для 
, получим:
(2.3)
Подставив значение в выражение (е) и учитывая (ж), получим:
Отсюда
, (2.4)
Выражение для прогиба (2.2), с учетом (ж), (1.5), (1.10) и (2.4), принимает вид:
(2.5)
Прогиб в центре пластины 
:
, (2.6)
Для получения углов поворота продифференцируем выражение (2.5) по x.
(2.7)
Определим угол поворота левого края балки-полосы 
.
(2.8)
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки-полосы получаем из уравнения
.
Продифференцируем выражение (2.7)
.
.
|
|
|
Подставив в выражение для изгибающего момента, получим:
. (2.9)
Значение изгибающего момента в центре балки-полосы
. (2.10)
Поперечную силу в произвольном сечении балки-полосы получим из уравнения 
.
Из уравнения (2.9) получим:
(2.11)
Значение поперечной силы на левом конце балки-полосы
. (2.12)
3. Содержание задания.
Вариант А.
Для выделенной из пластины элементарной балки-полосы:
1. Определить цилиндрическую жесткость D и коэффициент 
.
2. По полученному значению коэффициента найти из табл. 2 значения 
.
3. Составить выражения для прогибов w, углов поворота 
, изгибающих моментов 
и поперечных сил 
.
4. Построить эпюры прогибов w, углов поворота , изгибающих моментов и поперечных сил .
5. Определить максимальные нормальные 
и касательные напряжения 
6. Данные для расчета взять из табл. 3 согласно шифру (номеру зачетной книжки).
Вариант Б.
Для выделенной из пластины элементарной балки-полосы:
1. Определить цилиндрическую жесткость D и коэффициент .
2. По полученному значению коэффициента найти из табл. 2 значения 
3. Вычислить значение параметра
4. Составить выражения для прогибов w, углов поворота , изгибающих моментов и поперечных сил .
5. Построить эпюры прогибов w, углов поворота , изгибающих моментов и поперечных сил .
6. Определить максимальные нормальные и касательные напряжения
7. Данные для расчета взять из табл. 3 согласно шифру (номеру зачетной книжки).
Для упрощения вычислений прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил используется таблица 2 численных значений функций 
и 
для различных значений аргумента .
При малых значениях , т. е. для весьма податливого основания, функции 
и почти не отличаются от единицы, поэтому как максимальный прогиб, так и напряжения изгиба получаются в этом случае близкими к соответствующим значениям для свободно опертой полосы (без упругого основания). С увеличением влияние упругости основания оказывается все заметнее и заметнее.
|
|
|
|
|
|
