Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Решение задач на определение кинематических характеристик вращательного движения твердого тела.

Задачи на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси можно разбить на два типа.

Первый тип задач – дано уравнение вращения твердого тела, требуется найти кинематические характеристики вращательного движения: угловую скорость, угловое ускорение, скорость и ускорение заданной точки твердого тела.

Задачи этого типа следует решать, придерживаясь следующих правил:

1. Выбрать систему координат, направив одну из осей координат на оси вращения;

2. записать уравнение вращения твердого тела ;

3. Определить угловую скорость вращения тела: ;

4. Найти угловое ускорение вращения твердого тела: ;

5. Определить скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

6. Найти нормальное и касательное ускорения точки , ;

7. Определить полное ускорение точки по величине и направлению.

Второй тип задач представляет собой обратную задачу. Заданы кинематические характеристики: угловая скорость или угловое ускорение, требуется найти уравнение вращения твердого тела, скорость и ускорение точек твердого тела.

В этом случае алгоритм решения задачи будет таким:

1. Определить проекцию угловой скорости на ось вращения, для чего нужно проинтегрировать дифференциальное уравнение ;

2. Зная угловую скорость, как функцию времени, определить уравнения вращения твердого тела;

3. Найти величину скорости и нормального ускорения точки.

4. Найти величину касательного ускорения очки;

5. Определить полное ускорение точки.

Задача №17 (Мещерский И.В. 13.4)

Тело начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, делая 3600 оборотов за первые две минуты. Определить угловое ускорение.

Решение: Дано n = 3600 оборотов

t = 2 мин. = 120 с.

Определить ε.

1. Запишем уравнение движения, зная, что тело движется равноускоренно . В нашем случае , (вращательное движение тела начинается из состояния покоя).

2. Определим угловое ускорение : , здесь . Подставляя значения и t, получим

Ответ: .

Задача №18 (Мещерский И.В. 13.7)

Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость , сделав 10 оборотов. Оно вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение εколеса, считая его постоянным.

Дано:

оборотов

Определить ε.

Решение.

1. Определим закон вращательного движения колеса, зная, что оно вращается равнозамедленно ;

2. Для определения углового ускорения ε воспользуемся формулой , так как (колесо остановилось), то ;

3. Найдем угол, описанный телом за 10 оборотов ;

4. Определим время вращения тела, используя закон движения , получим . Подставляя численные значения и , найдем t

сек.

5. Зная, что , найдем .

Ответ: .

Задача №19 (Мещерский И.В. 13.13)

Моховое колесо радиуса r =0,5 м вращается равномерно вокруг своей оси; скорость точек обода 2 м/с

Сколько оборотов в секунду делает колесо

Дано: r =0,5м

2 м/с

Определим n об/мин.

Решение:

1. Определим угловую скорость вращения колес, пользуясь формулой

; ; рад/сек

3. Найдем число оборотов в минуту, которое делает колесо, имея угловую скорость 4 рад/сек.

;

Подставляя численные значения и , получим

об/мин.

Ответ: колесо делает 38,2 оборотов в минуту.

Задача №20 (Мещерский И.В. 13.16)

Найти горизонтальную скорость v, которую надо сообщить телу находящемуся на экваторе, для того, чтобы оно двигалось равномерно вокруг Земли по экватору в особых направляющих, имея ускорение q.

Определить также время T, чтобы оно вернулось назад.

Радиус Земли R_з=637*10⁶см, q=978 см/с²

Дано: R=637*10⁶см,

Q=978

Определить: V и T.

Решение:

1. Такое движение тел равномерно на тело действует только нормативная составляющая ускорения W_n=V/R=mg.

Отсюда V = ,V = см/с=7,89 км/с.

2. За один оборот тело проходит путь S=2 R. С другой стороны S = VT, 2 R = VT,

часа.

Ответ: V=7,89 км/с, T=1,4 часа.

Задача №21 (Мещерский И.В. 13.12)

Определить скорость v и ускорение w точки Ленинграда, принимая во внимание только вращение Земли вокруг оси. Широта Ленинграда φ=60⁰, радиус земли R=6370 км.

Дано: φ=60⁰

R=6370 км

Определить: V и W.

Решение: 1. Определим скорость точки по формуле

где - угловая скорость вращения Земли, она определяется по формуле рад/сек,

r-расстояние точки от оси вращения

Подставляя значения и в формулу для вычисления скорости точки, будем иметь 2.Определим ускорение точки , т.к. вращение земли равномерное, то

; м/с².

Ответ: м/с, м/с².

Задачи на преобразование простейших движений твердого тела.

Задача №22 (Мещерский И.В. 13.18)

Вал радиуса R=10 см. приводится в движение гирей Р, которая перемещается вертикально по закону X = 100 t²см. Определить угловую скорость и угловое ускорение вала ε, а также ускорение точки вала, лежащей на ободе в момент времени t.

Дано: R=10 см.

X=100 t² см.

Определить: ω и ε и w.

Решение: 1. Определим скорость точки М

2. Найдем угловую скорость вращения вала по формуле , т.к. вал приводится в движение из состояния покоя, то . Угловое ускорение, входящее в формулу, определим из условия , , . Следовательно угловая скорость вращения будет .

3. Определим ускорение точки М по формуле

Полное ускорение точки M будет

Ответ: рад/сек, рад/сек, см/с².

Задача №23 (Мещерский И.В. 14.10)

Ведущий вал Iфрикционной передачи вращается с угловой скоростью ω=20л рад/с и на ходу передвигается (направление указано стрелкой) так,что расстояние d меняется по закону d=(10-0,5t)см (t в секундах)

Определить:

1. Угловое ускорение вала II как функцию ускорения d.

2. Ускорение точки m обода колес B в момент когда d=r.

Даны радиусы фрикционных колес r =5см, R=15см.

Дано: ω=2π рад/с,

d=(10-0,5t) см

r=5 см

R=15см

Определить: w и ε.

Решение: 1. Определим угловую скорость вращения вала II, исходя из того, что линейные скорости вала в точке К равны отсюда

2.Определим угловое ускорение вращение вала II

Здесь d величина переменная

рад/с.

3.Найдем полное ускорение

где ; ; . Для d=r ,

, см/с².

Ответ: , см/с².

Задача №24 (Мещерский И.В. 14.16)

Найти закон движения и построить график возвратно-поступательного движения стержня АВ, если задано профиля кулака см, 0<φ<2π. Кулак вращается с угловой скоростью .