 |
Контур с положительной обратной связью
|
|
|
|
Модели системной динамики
моделирование мировой динамика
Первая модель, описывающая взаимодействие мировой цивилизации с биосферой, была простроена Дж. Форрестером в начале 70-х годов XX века. В основе этой модели лежит разработанный Дж. Форрестером метод системной динамики, используемый для имитационного моделирования сложных систем, в том числе и социально-экономических.
Любая модель системной динамики состоит из четырех элементов:
- резервуаров или уровней;
- потоков, перемещающих содержимое резервуаров;
- функций решения, регулирующих интенсивности потоков между резервуарами;
- прямых и обратных связей, соединяющих функции решений с резервуарами.
С математической точки зрения модель системной динамики описывается системой балансовых дифференциальных уравнений первого порядка.
В левой части балансовых уравнений стоит скорость изменения какого-либо параметра системы (уровня), а в правой части - разность между входящими в соответствующий резервуар и выходящими из него потоками. Например, если в некоторый бассейн втекает поток Vвх (м3/ч), а вытекает поток Vвых, то изменение объема воды в бассейне L (м3) описывается дифференциальным уравнением
. (1)
Аналогичное уравнение описывает процесс накопления денег D (руб.) в банке, непрерывно производящем операции по приходу с интенсивностью Sвх (руб./ч) и выдаче Sвых
. (2)
Основным понятием в системной динамике является понятие системы с обратной связью. В любой достаточно сложной системе элементы связаны между собой и влияют друг на друга. Функционирование отдельных объектов в качестве целостной системы обеспечивается установлением между их элементами определенных связей. Выделяют два основных вида связей - прямые и обратные. Прямая связь обеспечивает передачу воздействия или информации с выхода одного элемента на вход другого. Обратная связь обеспечивает передачу воздействия или информации с выхода элемента на вход того же элемента.
|
|
|
В зависимости от типа используемых связей различают разомкнутые и замкнутые системы управления. Управление движением транспорта на перекрестке с помощью светофора осуществляется по разомкнутой схеме, так как при переключении сигналов светофора не учитывается реальная ситуация на перекрестке. Если движением транспорта управляет регулировщик, то он учитывает складывающуюся обстановку, то есть использует информацию обратной связи, и тем самым управление осуществляется по замкнутой схеме. В первом случае имеет место «жесткое» управление, основанное на прямых связях, во втором - «мягкое» управление, основанное на использовании обратных связей.
При формировании структуры модели предполагается, что изменения в системе, в том числе и процессы роста и стабилизации, обусловлены петлями положительной и отрицательной обратной связи. С петлями обратной связи связаны два типа переменных - уровни и темпы. Уровни являются накопителями или резервуарами системы, а темпы - потоками, которые вызывают изменение уровней.
Реальные системы являются инерционными, поэтому в их структуре имеются элементы, определяющие запаздывание в передаче взаимодействий между отдельными частями системы.
Системное моделирование заключается в построении на основе перечисленных выше элементов модели, которая адекватно отражает внутреннюю структуру изучаемой системы. Модели реальных систем обычно содержат большое число элементов, поэтому их исследование осуществляется с использованием компьютера. Метод системной динамики использует специфический аппарат, позволяющий отразить причинно-следственные связи между элементами системы и их динамику. Построение модели системной динамики начинается с разработки диаграммы причинно-следственных связей. Диаграмма причинно-следственных связей представляет собой графическое изображение причинно-следственных связей между элементами системы. Такая связь изображается стрелкой, направленной от причины к следствию. Например, если изменение некоторого параметра A вызывает изменение параметра B, это изображается следующим образом: 
. Причинно-следственные связи могут быть положительными и отрицательными. Если изменение причины A вызывает изменение следствия B в том же направление, причинно-следственная связь называется положительной. Когда изменение причины вызывает изменение следствия в противоположном направлении, причинно-следственная связь называется отрицательной. Например, если уменьшение A вызывает уменьшение B, связь будет отрицательной, если увеличение A вызывает уменьшение B, связь будет отрицательной. Полярность связи обозначается знаками «+» и «-» (рис.7.1).
|
|
|
Причинно-следственные связи могут образовывать замкнутые контуры положительной и отрицательной обратной связи. Пример положительной обратной связи приведен на рис. 7.2.
Увеличение A вызывает увеличение B, что, в свою очередь, вызывает увеличение C и дальнейшее увеличение A. Другой пример положительной обратной связи приведен на рис. 7.3.
Здесь увеличение X вызывает уменьшение Y. Поскольку связь между Y и Z отрицательная, уменьшение Y вызывает увеличение Z, что вызывает дальнейшее увеличение X.
Пример контура отрицательной обратной связи приведен на рис. 7.4.
Увеличение A вызывает уменьшение B. Так как B и C связаны положительной связью, уменьшение B вызывает уменьшение C. Аналогичным образом уменьшение C приводит к уменьшению A. Таким образом, реакция контура с отрицательной обратной связью направлена на компенсацию начального увеличения A.
Общее правило определения полярности контура обратной связи следующее. Если в контур входит четное число отрицательных связей или их вообще нет, то это контур с положительной обратной связью. Если в контур входит нечетное число отрицательных связей, то это контур с отрицательной обратной связью.
|
|
|
На основе диаграммы причинно-следственных связей строится диаграмма потоков и уровней, являющаяся графическим изображением модели в виде уровней и связывающих их потоков (рис. 7.5).
Уровень изображается прямоугольником, внутри которого помещается его обозначение LEV.X и номер уравнения, описывающего динамику уровня. Модели системной динамики функционируют в дискретном времени. Шаг моделирования обозначается DT. Шаг моделирования - это интервал времени, через который вычисляются все параметры модели.
Индекс X обозначает момент времени, который может иметь три значения: J, K, L. Текущий момент времени обозначается K, предыдущий момент времени - J, следующий момент времени - L.
Скорость, или по принятой в системной динамике терминологии, темп потока, обозначается через RT. Темп, определенный в некоторый момент времени, остается неизменным в течение интервала времени DT. Моменты начала и конца шага моделирования DT указываются после величины RT в качестве индексов. Например, RT.JK обозначает темп, остающийся постоянным на протяжении интервала времени от J до K (рис. 7.6).
Потоки могут быть материальными, например, поток сырья, поток готовой продукции, поток рабочей силы, и информационными. Материальные потоки обозначаются непрерывными линиями со стрелками, информационные потоки - штриховыми линиями. В моделях системной динамики потоки являются управляемыми. Для этого служат вентили, с помощью которых можно изменять величины потоков, проходящих через них. С помощью информационных потоков принимаются решения о величине темпов потоков на следующий интервал времени. Решения, принятые в некоторый момент времени, не изменятся в течение шага моделирования DT. Динамика модели описывается уравнениями двух типов - уравнениями уровней и уравнениями темпов. Количество уровней определяет порядок модели.
|
|
|
Рассмотрим основные элементы, из которых строятся модели системной динамики.
Контур с положительной обратной связью
Диаграмма потоков и уровней для простейшего контура с положительной обратной связью приведена на рис. 7.7.
Поток с темпом RT втекает в резервуар с уровнем LEV. Темп потока прямо пропорционален уровню в резервуаре, C - коэффициент пропорциональности.
Уравнение уровня в соответствии с описанными выше обозначениями имеет вид
(3)
где LEV.K - уровень в резервуаре в момент времени K, LEV.J - уровень в момент времени J, RT.JK - темп потока, втекающего в резервуар в течение интервала времени DT от момента J до момента K. Цифра 1 означает, что это первое уравнение, а буква L означает, что это уравнение уровня.
Уравнение темпа имеет вид
. (4)
Цифра 2 означает, что это второе уравнение, а буква R означает, что это уравнение темпа.
Используя обозначения Li - уровень в i-й момент времени, Vi,i+1 - темп потока на интервале времени 
от момента i до момента i+1, уравнение уровня и уравнение темпа можно записать следующим образом:
, (5)
. (6)
Фактически уравнения (7.3) и (7.5) есть формулы интегрирования уравнения
(7)
методом Эйлера. Решение уравнения (7.7) при начальном условии 
имеет вид
.
Таким образом, в контуре с положительной обратной связью происходит экспоненциальное увеличение уровня. Поскольку темп пропорционален уровню, он тоже испытывает экспоненциальный рост. В реальных системах экспоненциальный рост продолжается до тех пор, пока не начнут сказываться факторы, ограничивающие его рост. Как правило, это связано с ограниченностью ресурсов, используемых системой.
Кривая экспоненциального роста характеризуется константой 
, которая называется постоянной времени. Постоянная времени численно равна времени, за которое происходит увеличение уровня в e раз.
|
|
|
