Задание к лабораторной работе № 1
Стр 1 из 2Следующая ⇒ ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ САУ Цель работы: изучение основных характеристик и параметров линейных систем автоматического управления (САУ). Теоретическая часть Линейной САУ называется динамическая система, поведение которой во времени описывается линейным дифференциальным уравнением n-степени:
a n∙ y (n) + a (n-1)∙ y (n-1) + … + a 1∙ y (1) + a 0∙ y = b m∙ x (m) + b (m-1)∙ x (m-1) + … + b 1∙ x (1) + b 0∙ x,
где a 0, b 0, …, a n, b n – постоянные коэффициенты уравнения; y – регулируемая переменная (выходная функция САУ); х – входная переменная (функция) САУ; y (i) = di y (t) / d t i – i -я производная функции у, (i = 1, …, n); x j = dj x (t) / d t j – j-я производная функции x (j = 1, …, m). Так, например, подлежащие исследованию две линейные САУ описываются следующими дифференциальными уравнениями, соответственно, второй и третьей степени: 1) а 2∙ у (2) + а 1∙ у (1) = b 0∙ x; 2) a 3∙ y (3) + а 2∙ у (2) = b 0∙ x. Представленные выше уравнения запишем в стандартной форме записи этих уравнений: 1) Т 22∙ у (2) + Т 1∙ у (1) = К ∙ x; 2) Т 33∙ y (3) + Т 22∙ у (2) = К ∙ x, где К = b 0 – статический коэффициент усиления САУ; Т 33 = а 3, Т 22 = а 2, Т 1 = а 1 – постоянные времени САУ, характеризующие ее динамические свойства. Дифференциальные уравнения можно представить в операторной форме путем замены в них знака производной d/d t оператором Лапласа р: 1) Т 22∙ р 2∙ у + Т 1∙ р∙у = [(Т 2∙ р)2 + Т 1∙ р ]∙ у = К ∙ x; 2) Т 33∙ р 3∙ у + Т 22∙ р 2∙ у = [(Т 3∙ р)3 + (Т 2∙ р)2]∙ у = К ∙ x. Отношение выходной величины у к входной переменной x в операторной форме есть передаточная функция W (p) САУ: 1) W (p) = y / x = К / [(Т 2∙ р)2 + Т 1∙ р ]; 2) W (p) = y / x = К / [(Т 3∙ р)3 + (Т 2∙ р)2].
Для формализованного описания динамических свойств САУ наряду с дифференциальными уравнениями и передаточной функцией W (p)используются следующие способы: временные функции, характеризующие изменение во времени выходного сигнала определенного вида; частотные характеристики, устанавливающие зависимость между амплитудой и фазой входного и выходного гармонических сигналов при изменении частоты входного сигнала. К временным характеристикам динамических звеньев относят переходную и весовую функции. Переходная функция h (t) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является единичной ступенчатой функцией x (t) = 1(t): y (t) = h (t)∙1(t) = h (t). Весовая функция g (t) (импульсная переходная функция) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является импульсной функцией x (t) = δ (t) = 1′(t), которая представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, т.е. ее кривая на плоскости охватывает площадь, равную 1: y (t) = g (t)∙ δ (t) = g (t)∙1′(t) Весовая функция является производной от переходной функции. Следовательно, переходную функцию h (t) можно определить путем аналитического и графоаналитического интегрирования весовой функции g (t): g (t) = d h (t)/d t; h (t) = ∫ g (t) ∙ d t. Изображением весовой функции L [ g (t)], т.е. представлением ее в операторной форме, является передаточная функция W (p): 1) L [ g (t)] = W (p) = K / [(T 2∙ р)2 + Т 1∙ р ]; 2) L [ g (t)] = W (p) = К / [(Т 3∙ р)3 + (Т 2∙ р)2]. С целью упрощения нахождения оригинала L -1[ W (p)] функции g (t), представленной в операторной форме, относительно сложное изображение W (p) можно разложить на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов: 1) ; 2) . Приведя правую часть полученных выражений к общему знаменателю, получим:
1) ; 2) . Так знаменатели левой и правой частей выражений равны, то, соответственно, равны и их числители, т.е.: 1) ; 2) . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях оператора Лапласа р левой и правой частей полученных формул: 1) К = А ∙ Т 1; 0 = А ∙ Т 22 + В; 2) К = В ∙ Т 22; 0 = А ∙ Т 22 + В ∙ Т 33; 0 = А ∙ Т 33 + С. Решая систему уравнений (1) и (2), получим: 1) А = К / Т 1; В = - А ∙ Т 22 = - К ∙ Т 22 / Т 1; 2) В = К / Т 22; А = - В ∙ Т 33 / Т 22 = - К ∙ Т 33 / (Т 22)2; С = - А ∙ Т 33 = К ∙(Т 33 / Т 22)2. Подставляя значения коэффициентов А, В и С в соответствующие исходные формулы, получим: 1) = = ; 2) = = = . Оригиналы изображений элементарных функций имеют следующий вид: . Заменяя в формулах 1) и 2) соответствующие изображения элементарных функций на их оригиналы, получим следующие выражения для весовых функций линейных САУ: 1) g (t) = ; 2) g (t) = . Так как переходная функция h (t) есть интеграл от весовой функции g (t), то найти ее можно либо путем непосредственного интегрирования функции g (t), либо путем нахождения сначала изображения L [ h (t)] функции h (t), а затем ее оригинала. Изображение переходной функции можно получить путем умножения передаточной функции (изображения L [ g (t)] весовой функции) на передаточную функцию идеального интегрирующего звена со статическим коэффициентом усиления, равным 1. Рассмотрим в качестве примера САУ с передаточной функцией W (p) = К / [(Т 2∙ р)2 + Т 1∙ р ]: L [ h (t)] = W (p)∙ = . Разложим полученное изображение передаточной функции на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов по аналогии с ранее рассмотренными примерами: L [ h (t)] = = . Найдем значения коэффициентов А, В и С: . Находим оригиналы элементарных функций: L -1(1/ p) = 1; L -1(1/ p 2) = t; L -1[(T 1 / T 22) / (p + T 1 / T 22)] = [(T 1 / T 22)∙ . Используя полученные выражения, находим оригинал искомой передаточной функции: h (t) = + + ∙ = .
Частотные характеристики САУ характеризуют реакцию системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме. К частотным характеристикам относятся: АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика; АЧХ – амплитудно-частотная характеристика; ФЧХ – фазовая частотная характеристика;
ЛАЧХ – логарифмическая АЧХ; ЛФЧХ – логарифмическая ФЧХ. АФЧХ представляет собой частотную передаточную функцию W (jω), которая получается путем замены в передаточной функции W (p) оператора Лапласа p на комплексную переменную jω. АФЧХ W (jω) можно представить в виде вектора на комплексной плоскости с координатами [ M (ω), N (ω)] или в полярных координатах Н(ω) и φ(ω), которые являются соответственно АЧХ и ФЧХ: W (jω) = N (ω) + jM (ω) = Н (ω)∙ еjφ(ω ). (1) Здесь: Н (ω) – АЧХ, которая представляет собой зависимость значения модуля вектора W (jω) от круговой частоты ω; φ (ω) – ФЧХ, которая представляет собой зависимость аргумента вектора W (jω) от круговой частоты ω; N (ω) = Н (ω)∙ cosφ (ω) – проекция вектора W (jω) на вещественную ось комплексной плоскости; M (ω) = Н (ω)∙ sinφ (ω) – проекция вектора W (jω) на мнимую ось комплексной плоскости; При изменении частоты ω от нуля до бесконечности конец вектора W (jω) вычерчивает кривую в комплексной плоскости, которая называется годографом АФЧХ. Определим в качестве примера частотную передаточную функцию для САУ с передаточной функцией в операторной форме W (p) = К / [(Т 2∙ р)2 + Т 1∙ р ], которую для удобства дальнейших преобразований представим в виде: W (p) = К / [(Т 2∙ р)2 + Т 1∙ р ] = К 1 / [(T∙p + 1)∙ p ], где К 1 = К / Т 1; Т = (Т 2)2 / Т 1. Произведя замену оператора Лапласа р на комплексную переменную jω, получим: W (jω) = К 1 / [(jωT + 1)∙ jω ] = = = . (2) Из выражения (2) получаем формулы для нахождения модуля Н (ω) и аргумента φ (ω) вектора АФЧХ, а также его проекций на вещественную N (ω) и мнимую М (ω) оси: Н (ω) = ; φ (ω) = - [90o + arctg (ω∙T)];
N (ω) = ; М (ω) = . (3) Фазовую частотную характеристику φ (ω) можно найти также из следующего соотношения: φ (ω) = arctg [ М (ω) / N (ω)] = -[180o - arctg (1/ ω∙T)].
Задание к лабораторной работе № 1 1. Используя метод неопределенных коэффициентов, найти аналитические выражения для весовой g (t) и переходной h (t) функций САУ, состоящей из двух последовательно соединенных элементарных динамических звеньев: апериодического и идеального интегрирующего звена.
2. Построить при помощи компьютерной программы MATLAB и вывести на печать графики найденных при выполнении п. 1 задания временных зависимостей g (t) и h (t). 3. Вывести аналитические выражения для частотных характеристик САУ по пункту 1: АФЧХ, АЧХ и ФЧХ. 4. Задаваясь характерными точками на оси частот построить примерные графики полученных при выполнении п. 3 задания частотных зависимостей. 5. При вычислениях следует использовать варианты параметров динамических звеньев, заданные табл. 1, в соответствии с последней цифрой шифра студента. Примечание: тип 1 соответствует апериодическому звену; тип 2 соответствует идеальному интегрирующему звену. 6. По результатам выполнения задания необходимо оформить отчет. Таблица 1
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|