Уравнения пограничного слоя Л. Прандтля

 

На тот факт, что влияние вязкости должно сказываться лишь вблизи обтекаемой стенки, было указано еще Д. М. Менделеевым (1880 г.) в его исследованиях по сопротивлению жидкостей движущимся телам. Математическая теория пограничного слоя была дана Л. Прандтлем.

При выводе уравнений пограничного слоя продольную (вообще говоря, криволинейную) координату х выбирают вдоль обтекаемой поверхности, а ось у - перпендикулярно к ней. Начало координат обычно удобно выбрать в передней критической точке, где набегающий поток раздваивается. Из - за малой толщины d пограничного слоя по сравнению с размерами обтекаемого тела можно пренебречь кривизной поверхности и рассмотреть выбранную систему координат как декартовую [x; y], рисунок 2.2.

Рисунок 2.2 - Ортогональная сетка координат [x, y]

Для установившегося движения вязкой жидкости уравнения Навье - Стокса (1.2) и уравнение непрерывности в случае плоского (двухмерного) потока принимают вид:

w_x + w_y = - + n( + ),

w_x + w_y = - + n( + ),

+ = 0.

Учитывая, что внутри пограничного слоя значительные градиенты только продольной составляющей скорости w_x, второе из написанных уравнений упрощается:

=0.

Из этого следует важная особенность пограничного слоя: давление внешнего потока передается через пограничный слой без изменений. Можно показать также, что в первом уравнении член весьма мал по сравнению . В итоге получим систему уравнений для пограничного слоя Л. Прандтля:

wx + wy = - + n , + = 0.

}

(2.1)

Результаты интегрирования этих гораздо более простых уравнений хорошо совпадают с экспериментальными данными.

Кроме того, следуя идее Л. Прандтля, продольное изменение давления (член - ) можно найти, рассматривая потенциальное течение в области 111 (рисунок 2.1), где справедливо уравнение Бернулли для идеальной жидкости

U² / 2 + p/r = const. (2.2)

Здесь U - скорость вне пограничного слоя в области 111 у данной точки обтекаемого тела. Дифференцируя последнее равенство по х, получим

U + = 0,

или

- = U .

Учитывая это, перепишем систему уравнений Прандтля (2.1) в виде:

wx + wy = U + n , + = 0.

}

(2.3)

В этих уравнениях распределение скоростей U(x) во внешнем потенциальном потоке на границе пограничного слоя можно получить. решая задачу обтекания тела потоком идеальной жидкости. а затем осуществить "стыковку" этого решения с течением вязкой жидкости в пограничном слое.

Граничные условия для системы уравнений пограничного слоя предполагают, во - первых, равенство нулю вектора скорости на поверхности обтекаемого тела, т. е.

w_xô_y=0 = w_yô_{y = 0} (2.4)

из условий непроницаемости стенки и "прилипания" к ней вязкой жидкости.

Во - вторых, "стыковка" на внешней границе пограничного слоя предполагает равенство скорости частиц вязкой жидкости и скорости U(x) внешнего (потенциального) потока идеальной жидкости. Хотя, формально влияние пристеночного торможения жидкости сказывается на любом расстоянии от стенки, так что, строго говоря, это условие записывается в виде

w_xô_{y® ¥} = U(x) (2.5)

и предполагает асимптотический переход к скорости внешнего потока. Однако, с целью упрощения, более часто второе граничное условие задается для пограничного слоя "конечной толщины d", под которым подразумевают слой жидкости, в котором на расстоянии d от стенки происходит изменение скорости от нуля (на стенке) до w_x = U(x) (на расстоянии d от стенки), при условии плавности такого перехода

w_xô_{y =} d = U(x), ô_{y =} d = 0. (2.5¹)

В качестве d можно, например, принять расстояние от стенки, на котором скорость отличается от скорости внешнего потока на 1%, когда w_x(x) ï_y=d= 0,99U(x).

Расплывчатость такой оценки очевидна. Поэтому используются интегральные, менее наглядные, но более строгие оценки.

Толщина вытеснения (рисунок 2.3)

d * = [ò(U - w_x)dy]/U = ò [1 - w_x(y)/U]dy.

Рисунок 2.3 - Поле скоростей в пограничном слое:

d - толщина пограничного слоя; d* - толщина вытеснения

 

Интеграл ò(U - w_x)dy представляет собой разность между расходами жидкости в пограничном слое d, если бы скорость по всему его течению не уменьшалась из - за вязкости, а оставалась бы равной U, и действительным расходом (заштрихованная часть эпюры скоростей справа), т. е. представляет собой уменьшение расхода жидкости в пограничном слое из - за вязкости. Разделив этот интеграл на величину U, получим некоторую величину d*, через которую и протекал бы недостающий расход (перекрестная штриховка). На d* оттесняются от поверхности тела линии тока невозмущенного течения из - за вязкого торможения.

Аналогичные характеристики можно ввести для импульса и энергии потока:

 

d

d^** = ò [(w_x(y)/U)(1-w_x(y)/U)]dy- толщина потери импульса;

0

d

d^***= ò[(w_x(y)/U)(1-w²_x(y)/U²)]dy- толщина потери энергии.

 

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: