Расчет пограничного слоя по методу Кармана

Выберем два сечения пограничного слоя, нормальные к обтекаемой стенке на расстоянии Dx (см. рисунок 2.5) и применим к объему жидкости, ограниченному контуром АВСD теорему об изменении количества движения (второй закон Ньютона) (ширину данного объема в направлении оси z выберем единичную Dz = 1):

[D(m w)]/ Dt = F,

или в проекции на ось х:

[D(m w_x)]/ Dt = F_x. (2.6)

Рисунок 13.6 - К расчету пограничного слоя интегральным методом Кармана

 

Здесь F равнодействующая сил, приложенных к объему жидкости, втекающей через АВ и ВС, а вытекающей через СD.

Вычислим сначала левую часть этого уравнения. Масса жидкости, поступающая через АB на участке Dу за время Dt равна rw_xdyDt, и несет количество движения rw_х² dyDt, а через все сечение АВ соответственно

m_ав = Dt w_хdy и (mw_x)АВ = Dt w_х²dy.

Тогда приращение количества движения от сечения АВ до СД составит

(mw_x)_CВ - (mw_x)_АВ =

= (Dt w_х²dy)_СD - (Dt w_хdy)_АВ = D(Dt w²_хdy).

Поскольку на границе пограничного слоя скорость потока равна U, а масса Dm жидкости, поступающей с этой скоростью в пограничный слой извне через сечение ВС равна разности масс, поступающей через АВ и вытекающей через СD, т. е.

Dm = (Dt w_хdy)_CD - (Dt w_хdy)_АВ = D(Dt w_хdy).

то количество движения, вносимое через ВС, равно

 

(mw_x)_ВС = UDm = UD(Dt w_хdy).

Тогда полное изменение количества движения в направлении х - левая часть уравнения (2.6):

[D(mw_x)]/Dt = [(mw_x)_CD - (mw_x)_АВ - (mw_x)_ВС]/Dt =

= D( w²_хdy) - UD w_хdy.

Рассмотрим силы, действующие на выделенный объем - правую часть уравнения (2.6). В направлении х действует сила давления pd на грань АВ, а навстречу ей, на грань СD действует сила давления

(p +Dp)(d + Dd), где Dp и Dd - приращение давления и толщины пограничного слоя на участке Dх. Кроме того, на ВС действует сила давления рDd, а со стороны стенки АD - сила трения - tDх, где t - напряжение трения. Суммируя эти силы, получим:

F_x = pd - (p +Dp)(d + Dd) + pDd - tDx = - dDp - tDx.

После подстановки в уравнение импульсов (2.6), деления на Dх и перехода к пределу Dх ®0, получим интегральное соотношение Кармана (1921) для плоского пограничного слоя:

 

(d/dx) w²_хdy - U (d/dx) w_хdy = - d dp/dx - t. (2.7)

Если продольный градиент давления dp/dx выразить через скорость внешнего потока U (по уравнению Бернулли)

- dp/dx = rU dU/dx,

то уравнение Кармана (2.7) можно переписать в виде:

dy - U dy = dU (dU/dx) - t /r. (2.7¹)

 

Вывод уравнения Кармана (2.7) и (2.7¹) не содержит каких - либо предположений о природе касательного напряжения t. Поэтому уравнение (2.7) и (2.7¹) применимы как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев. Здесь предполагается известным распределение скоростей во внешнем потоке, т. е. величины U и dU/dx (они могут быть определены методами гидродинамики идеальной жидкости или из опыта). Неизвестными величинами здесь являются w_x, d и t (а в случае сжимаемой жидкости - и плотность r). Для определения толщины d пограничного слоя и касательного напряжения t у стенки приходится задаваться распределением скоростей в слое. Поскольку скорость w_x внутри слоя входит в уравнение Кармана только под интегралом, можно пользоваться приближенным значением распределения w_x без заметной погрешности вычислений.

Преобразуем (2.7¹) следующим образом.

Имея в виду тождество

(U dy) = dy + U dy,

уравнение (13.11¹) преобразуем к виду

dy - (U dy) + dy - dU =

= - (Uw_x - w_x²)dy - (U - w_x)dy = - t /r,

или, введя d*, d** и меняя знаки:

(U² d**) + U d* = t /r,

или, выполнив дифференцирование и деля на U²):

dd**/dx + (2d** + d*) = t /(rU²). (2.7¹¹)

В этой форме записи уравнения неизвестными являются d*, d** и t.

 

Задача 1

В замкнутом сосуде с водой абсолютное давление на свободной поверхности равно р_о = 2,85 кГ/см². На какую высоту Н поднимется вода в открытой трубе, сообщающейся с сосудом на глубине h (м) под свободной поверхностью (рис. 2)?

Рис. 2

Дано: р₀ = 2,85 кГ/см², h = 1,4 м = 140 см.

Определить: H.

Решение

По условию задачи нам требуется определить, на какую высоту поднимется вода в открытой тонкой трубке, сообщающейся с сосудом; а это есть не что иное, как пьезометрическая высота, которая может быть определена по формуле: ,

где р – абсолютное давление внутри сосуда в точке А;

р_а – атмосферное давление, действующее на воду со стороны открытой части трубки;

p – p_a = p_из, то есть избыточное давление;

g – объемный вес воды.

Зная, что p = p₀ +gh и объемный вес воды g = 0,001 кГ/см³, а атмосферное давление р_а = 1,033 кГ/см², можем написать:

 

3адача 2

Требуется определить подъемное усилие Т для подъема в канале прямоугольного щита, с двух сторон которого находится вода. Щит может вращаться вокруг горизонтальной оси m. Задачу следует решить аналитически, построить эпюры давления и найти центры давления для сил суммарных гидростатических давлений. На чертеже показать все силы давления и вес щита, а также координаты точек их приложения (рис. 3 и рис. 3а).

Дано: H₁ = 7,2 м, Н₂ = 3,15 м,

 

,

 

угол наклона a = 60°, ширина щита b = 4 м, вес щита G = 3,25 Т. Трением в шарнире можно пренебречь.

Определить: Т.

 

Рис. 3

Решение

Из теоремы моментов мы знаем, что алгебраическая сумма моментов всех действующих сил относительно какой-либо точки равна нулю; поэтому можем написать следующее уравнение в общем виде:

 

или в нашем случае:

 

где точкой моментов является точка «m» на оси вращения.

Найдя числовые значения для Р₁, Р₂, l₁, l₂ G, f, сможем определить величину подъемного усилия Т.

Длину щита можно вычислить по заданной в задаче формуле, зная, что a = 60° и Н₁ = 7,2 м,

Силу гидростатического давления воды слева от щита P₁ определим по следующей формуле (для наклонной плоскости):

где ширина щита b = 4 м,

объемный вес воды g = 1 Т/м³,

высота столба воды слева от щита H₁ = 7,2 м, a = 60°.

Тогда:

Сила Р₂ справа от щита:

 

 

Равнодействующая сил гидростатического давления Р будет:

 

P = P₁ – P₂ = 119,72 – 22,91 = 96,81 Т.

 

Величины l₁ и l₂, то есть расстояние от низа стенки до центра давления соответствующей силы гидростатического давления воды на щит, определим по следующим формулам:

Плечо силы G может быть определено из уравнения:

Зная теперь все необходимые величины, можно вычислить величину подъемного усилия Т:

Построим теперь эпюры гидростатического давления воды для сил давления воды на щит слева и справа, а также и для их равнодействующей сил, определив графически и аналитически ее центр давления (рис. 3а).

 

Рис. 3а

SD ABC выражает собой величину силы гидростатического давления воды Р₁ действующей на щит слева;

SD ДСЕ выражает собой величину силы гидростатического давления воды Р₂, действующей на щит справа;

S трапеции CFLB выражает собой величину равнодействующей силы Р.

Для графического определения точки с, то есть центра давления равнодействующей силы давления воды на щит, находим в начале центр тяжести трапеции, то есть точку О и из нее опускаем перпендикуляр на щит; точка пересечения перпендикуляра со щитом и будет центром давления.

Центр давления равнодействующей силы давления воды на щит можно найти и аналитически. Для этого напишем, пользуясь теоремой Вариньона, уравнение моментов равнодействующей и составляющих ее гидростатических сил относительно точки С (рис. 3):

Откуда:

Ординаты эпюр гидростатического давления, как известно, выражают собой гидростатические напряжения в соответствующих точках щита или стенки, а их площади – силы гидростатического давления воды.

Задача 3

Донное отверстие плотины перекрывается плоским прямоугольным щитом, шарнирно прикрепленным к телу плотины своей верхней кромкой. Определить, какое усилие нужно приложить к тросу для открытия щита при следующих данных: глубина погружения нижней кромки щита H = 3 м, высота щита h = 1 м, ширина щита b = 1,5 м, угол между направлением троса и горизонтом a = 45° (рис. 4).

Рис. 4

Дано: H = 3 м, h = 1,0 м, b = 1,5 ж, a = 45°.

Определить: S.

Решение

Давление воды Р на щит определяем по формуле:

 

где площадь щита

глубина погружения центра тяжести щита

Стало быть,

Глубину погружения центра давления щита находим по формуле:

где центральный момент инерции площади щита:

Тогда

Усилие для открытия щита определяется из равенства моментов:

 

откуда

где

Поэтому

 

Задача 4

Определить давление на стенки и сферическое дно вертикального цилиндрического резервуара, сваренного из пяти поясов листовой стали при высоте каждого пояса h, и рассчитать толщину стенок, если резервуар наполнен водой доверху. Кроме того, начертить эпюры давления на стенки и дно резервуара и графически найти центры дав­ления (рис. 5).

 

Рис. 5

Дано: внутренний диаметр резервуара D = 9 м, допускаемое напряжение стали на разрыв s_z = 1400 кГ/см², h = 1,9 м.

Определить: Р_х, P_z, d_i.

Решение

Давление на стенки вертикального цилиндрического резервуара можно определить по формуле:

 

 

где , но так как h_s = 5h,

то

 

поэтому окончательно для Р_х получим:

 

или

 

Давление на дно резервуара (очертанием кривизны дна резервуара пренебрегаем) может быть определено по следующей формуле:

 

 

но Р₀ = Р_а, где Р_а – сила, обусловленная атмосферным давлением, действует изнутри и снаружи резервуара, взаимно уравновешивается и в расчет не принимается.

Тогда

 

где G – вес жидкости в резервуаре, то есть

 

но так как

то

поэтому

или

 

 

Толщину стенки вертикального резервуара будем определять по формуле:

 

 

где = 2…5 мм – запас на коррозию, 1,10 – запас на сварные швы.

Сначала определим р для каждого пояса, отнеся его к центру тяжести пояса, по формуле:

 

 

Зная величины р, найдем теперь толщину стенки резервуара в каждом его поясе:

 

 

Полученные размеры толщин листов округляем до стандартных размеров, обеспечивая запас жесткости, и принимаем: для четырех верхних поясов вертикального цилиндрического резервуара прокатный лист толщиной 8 мм; для нижнего пояса вертикального цилиндрического резервуара прокатный лист толщиной 10 мм.

Задача 5

Сферическая крышка, закрывающая круглое отверстие в стенке резервуара, прикреплена к нему двумя болтами (рис. 6). Определить растягивающие усилия, возникающие в каждом из болтов а и b, если глубина погружения центра отверстия h_c = 2 м и диаметр крышки d = 1,0 м.

 

 

Рис. 6

Дано: h_c = 2 м, d= 1,0 м.

Определить: N_a и N_B.

Решение

Горизонтальная составляющая равнодействующей давления воды на крышку:

 

 

Вертикальная составляющая давления воды на крышку:

 

 

При построении тела давления криволинейная поверхность крышки аb разделяется на две части ас и cb. Тело давления асеf для нижней части крышки действует сверху вниз; тело давления bсef для верхней части крышки действует снизу вверх. Общий объем тела дав­ления для крышки определится как разность объемов тел давления для нижней и верхней части крышки и будет равен объему полусферы диаметром d. Общий объем тела давления заштрихован на рисунке сплошными жирными линиями.

Растягивающие усилия, возникающие в болтах, найдем из уравнений равновесия крышки:

 

(1) (1)

 

(2)

 

где т – расстояние от точки а до линии действия горизонтальной составляющей давления воды на крышку:

 

 

глубина погружения центра давления

 

поэтому

 

 

n – расстояние от точки а до линии действия вертикальной составляющей гидростатического давления воды на крышку. Из геометрии известно, что для полушара:

 

 

Из уравнения равновесия крышки (2) имеем:

 

 

Из уравнения равновесия (1):

 

Задача 6

Определить расход воды Q горизонтального трубопровода, имеющего сужение, при следующих данных: диаметры d₁ = 15 см, d₂ = 6 см, пьезометрические высоты p₁ / g = 1,2 м, p₂ / g = 0,8 м. Потери напора и неравномерность распределения скоростей в сечениях не учитывать (рис. 7).

 

 

Рис. 7

 

Дано: d₁ = 15 см, d₂ = 6 см, p₁ / g = 1,2 м, p₂ / g = 0,8 м.

Определить: Q.

Решение

Напишем уравнение Д. Бернулли без учета потерь напора для сечения 1-1 и 2-2, приняв плоскость сравнения, проходящей через ось трубопровода О-О:

так как

 

Из уравнения неразрывности потока жидкости:

 

 

имеем:

 

После подстановки значения скорости V₁ в уравнение Д. Бернулли получим:

 

 

Решив последнее равенство относительно скорости V₁, будем иметь:

 

a

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.:Высшая школа, 1976. - 389с.

2. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-307с.

3. Федяевский К.К., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - М.: Судостроение, 1968. - 567 с.

4. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.

5. Аржаников Н.С. и Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956 - 483 с.

6. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

8. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. -М.: Энергия, 1971. - 480 с.

9. А.С. Монин, А.М. Яглом «Статистическая гидромеханика» (ч.1. -М.: Наука, 1968. -639 с.)

10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

11. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.

12. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970. - 215 с.

13. А.А.Гухман «Введение в теорию подобия». - М.: Высшая школа, 1963. - 253 с.

14. С. Клайн «Подобие и приближенные методы». - М.: Мир, 1968. - 302 с.

15. А.А.Гухман «Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. Процессы переноса в движущейся среде». - М.: Высшая шкала,1967. - 302 с.

16. А.Н.Лебедев «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.

17. Л.И.Седов «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с.

18. В.А.Веников и Г.В.Веников «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая шко­ла, 1984. -439 с.

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: