Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Функциональные зависимости в повседневной жизни




В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с функциональными зависимостями. Мы нашли множество примеров функций, которые изобразили с помощью графиков.

Пример 1. Рассмотрим деление праздничного торта между гостями. Отчего зависит количество порций?– от числа гостей. А от чего зависит вес порции? – тоже от числа гостей.

− В первом случае, чем больше гостей, тем на большее количество порций мы должны разделить торт (рис. 1).

Здесь наглядно можно представить прямую пропорциональную зависимость.

       
 
Рис. 1
 
Рис. 2

Во втором случае, чем больше гостей, тем меньше вес порции.Здесь мы видим

Рис. 1
обратную пропорциональнуюзависимость (рис. 2).

Пример 2. Мы живём в век информационных технологий. Ежедневно мы получаем массу информации из различных источников: телевидения, радио, газет, журналов, и, конечно, из Интернета. Известно, что объём информации каждые пять лет увеличивается в два раза.

Рис. 3
Если построить график зависимости объёма информации от времени, то получим некоторую кривую, которая в математике
Рис. 1
называется экспонентой и является
Рис. 1
графиком показательной функции (рис. 3).

 
 
Рис. 1


Пример 3. На голове человека растут волосы, которые регулярно стригут.

График полученной зависимости (при условии, что стрижку делают регулярно) похож на функцию дробной части числа, смещённую на a единиц вверх: (рис. 4).

 
 
Рис. 4


Пример 4. За время обучения в школе каждый год переходим в следующий класс.

Такая зависимость сходна с функцией целой части числа на ограниченном промежутке (рис. 5).

 

 
 
Рис. 5


Пример 5. Изменение температурного режима в нашей климатической зоне подчиняется законам тригонометрических функций (рис. 6)

 

 
 
Рис. 6


Пример 6. Садово-огородные процессы тоже можно представить в виде функции и построить график. К примеру, яблоко росло, зрело, потом его высушили (рис. 7). Получили некоторую кусочную функцию.

 
 
Рис. 7


Пример 7. Графиком можно проиллюстрировать смысл любой пословицы.

Вот, например, пословица – «Каково жизнь проживешь, такую славу наживешь» на графике будет выглядеть следующим образом (рис.8):

Рис. 8
Из графика следует, что если на протяжении своей жизни будешь совершать отрицательные дела, поступки, то и слава о тебе будет отрицательная, и наоборот.

Или такая пословица – «Пересев хуже недосева» на графике будет выглядеть так (рис. 9):

Рис. 9
Из графика видно, что если семян мало, то и урожай будет мал, если семян слишком много, то им расти будет плохо, и семена потеряешь, и урожая не соберешь, нужно посадить оптимальное количество семян и урожай будет высоким.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.

Кстати: Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:

1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс, а ось осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси.

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 1 клеточка. Однако время от времени случается так, что в чертеже необходимо отмечать дробные величины, тогда допускается масштаб: 1 единица = 2 клеточка. Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа. Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Это печалька нашего времени!!

 

 

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1 Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике.

1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретила добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через или . Буква обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс» (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R).

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через или .

Функция является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика

Постройте график функции с использованием движения графиков:

1. y =(x+2)2 (f(x) ® f(x+a))

2. y = x2+1 (f(x) ® f(x) + b)

3. y = -x2 (f(x) ® - f(x))

4. y =|x2 - 4| (f(x) ® f(x) + b, f(x) ® |f(x)|)

 

Постройте график функции с использованием движения графиков:

1. y = - (x - 1)2 (f(x) ® f(x+a), f(x) ® - f(x))

2. y = |x2 - 3| - 1 (f(x) ® f(x) + b, f(x) ® - f(x), f(x) ® f(x) + b)

3. y = x2 – 4х + 5

 

Постройте график функции

х2-1, если х 0

f(x)= (x-1)2,если х>0

При каких значениях х выполняется неравенство у 0

Первым графиком является парабола. Построим её часть (х 0) путем сдвига вниз на 1 графика

у= х2.

х   -1 -2 -3 -4
у -1        

 

Вторым графиком является тоже парабола. Построим её часть (х>0)путем сдвига вдоль оси ох вправо на 1 графика у= х2.

х          
у          

 

Ответ: при у>0, x<-1,0<x<1 и x>1

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...