 |
Жизненный цикл моделируемой системы
|
|
|
|
1. Сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;
2. Проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);
3. Построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей;
4. Исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования;
5. Исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели;
6. Оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);
7. Интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно - следственных связей в исследуемой системе;
8. Генерация отчетов и проектных (народно - хозяйственных) решений;
9. Уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью моделирования.
Операции над моделями
Основными операциями, используемыми над моделями являются:
1. Линеаризация. Пусть М=М(X,Y,A), где X - множество входов, Y - выходов, А - состояний системы. Схематически можно это изобразить: X Þ A Þ Y
Если X, Y, A - линейные пространства (множества), а f, y - линейные операторы, то система (модель) называется линейной. Другие системы (модели) - нелинейные. Нелинейные системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным каким-то образом.
2. Идентификация. Пусть М=М(X,Y,A), A={ai}, ai=(ai1,ai2,...,aik) - вектор состояния объекта (системы). Если вектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы в некоторых случаях. Идентификация - решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей, описывающих адекватно поведение реальной системы.
|
|
|
3. Агрегирование. Операция состоит в преобразовании (сведении) модели к модели (моделям) меньшей размерности (X, Y, A).
4. Декомпозиция. Операция состоит в разделении системы (модели) на подсистемы (подмодели) с сохранением структур и принадлежности одних элементов и подсистем другим.
5. Сборка. Операция состоит в преобразовании системы, модели, реализующей поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно связанных и устойчивых).
6. Макетирование. Эта операция состоит в апробации, исследовании структурной связности, сложности, устойчивости с помощью макетов или подмоделей упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход подмоделей сохранены).
7. Экспертиза, экспертное оценивание. Операция или процедура использования опыта, знаний, интуиции, интеллекта экспертов для исследования или моделирования плохо структурируемых, плохо формализуемых подсистем исследуемой системы.
8. Вычислительный эксперимент. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью распределения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель!).
Применение моделей
Модели и моделирование применяются по следующим основным и важным направлениям.
1. Обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей).
2. Познание и разработка теории исследуемых систем - с помощью каких - то моделей, моделирования, результатов моделирования.
3. Прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы).
4. Управление (системой в целом, отдельными подсистемами системы, выработка управленческих решений и стратегий).
|
|
|
5. Автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).
В базовой четверке информатики: "модель - алгоритм - компьютер - технология" при компьютерном моделировании главную роль играют уже алгоритм (программа), компьютер и технология (точнее, инструментальные системы для компьютера, компьютерные технологии).
Например, при имитационном моделировании (при отсутствии строгого и формально записанного алгоритма) главную роль играют технология и средства моделирования; аналогично и в когнитивной графике.
Этапы построения модели
Введение
Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.
Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.
Для моделирования существенно объединение дифференциального (атомистического) и структурно-целостного подходов, диалектическое единство анализа и синтеза при исследовании изучаемых явлений. Моделирование заключается в имитации изучаемого явления. Точность имитации определяется путем сравнения полученного при воспроизведении результата с его прототипом, объектом исследования, и оценки степени их сходства.
В целом, моделирование включает в себя три необходимых этапа: анализ объекта исследования, построение (синтез) модели, получение результата и его оценка путем сравнения с объектом.
Рассмотрим более детально эти этапы.
Анализ объекта моделирования
В основу модели при ее формировании кладутся некоторые первоначальные знания об объекте, закономерности, устанавливающие свойства этого объекта (или класса объектов), его характеристики, особенности связи между составляющими объект, элементами. Получение этих знаний и их уточнение и являются содержанием первого этапа моделирования.
|
|
|
На этом этапе формируется возможно более полное описание объекта: выделяются его элементы, устанавливаются связи между ними, вычленяются существенные для исследования характеристики, выявляются параметры, изменение которых влияет или может влиять на объект.
На том же этапе формируются, подлежащие последующей проверке гипотезы о закономерностях, присущих изучаемому объекту, о характере влияния на него изменения тех или иных параметров и связей между его элементами.
На том же этапе исходные предположения переводятся на четкий однозначный язык количественных отношений и устраняется нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими,; не- допускающими различных толкований высказываниями
Формирование (синтез) модели
Формирование (синтез) модели представляет собой второй этап моделирования. На этом этапе в соответствии с задачами исследования осуществляется воспроизведение, или имитация, объекта на ЭВМ с помощью программы, которая включает в себя закономерности и другие исходные данные, полученные на этапе анализа. Структура модели, существенно зависит от задач исследования.. Так, например, если проверяется полнота и правильность наших знаний об объекте, последний имитируется с использованием, всех известных исходных соотношений. Если же задача, заключается,в проверке некоторых предположений и степени; их общности, то именно эти предположения вводятся в программу и в результате имитации получаются объекты, которые лишь частично отражают реальные свойства имитируемого объекта.
Оценка результатов
Оценка результатов, заключается, в установлении адекватности модели и объекта исследования - в определении степени близости,, сходства, машинных и человеческих действий или их результатов. При этом существенно не "абсолютное качествo" машинных результатов, а степень сходства с объектом исследования. Так, при моделировании музыкальных сочинений важно нe то, чтобы машинная музыка была "лучше" музыки композиторов-классиков, а чтобы она была похожа на ту, которая исследуется, и - в идеале - была от нее неотличима (по эмоциональности, по выразительности, по синтаксической сложности, принадлежности к типу, стилю и т. п.).
|
|
|
Успешный результат сравнения (оценки) исследуемого объекта с моделью свидетельствует о достаточной степени изученности объекта, о правильности принципов, положенных в основу моделирования, и о том, что алгоритм, моделирующий объект, не содержит ошибок, т. е. о том, что созданная модель работоспособна. Такая модель может быть использована для дальнейших более глубоких исследований объекта в различных новых условиях, в которых реальный объект еще не изучался.
Чаще, однако, первые результаты моделирования не удовлетворяют предъявленным требованиям. Это означает, что по крайней мере в одной из перечисленных выше позиций (изученность объекта, исходные принципы, алгоритм) имеются дефекты. Это требует проведения дополнительных исследовании и соответствующего изменения машинной программы, после чего снова повторяются второй и третий этапы. Процедура повторяется до получения надежных результатов.
Этап оценки модели является важным этапом моделирования. В зависимости от характера объекта исследования и поставленных задач применяются различные методы оценки модели. Особенно большое значение имеет правильная оценка модели, когда моделирование, используется для проверки гипотез, а также когда объекты недостаточно формализованы и нет строгого объективного критерия сходства объекта и модели. С подобной ситуацией часто приходится встречаться при моделировании интеллектуальных, творческих процессов.
Модель должна обладать существенными признаками объекта моделирования. Иначе говоря, модель и объект должны быть неотличимы по этим признакам, которые выбираются, вообще говоря, исследователем в зависимости от цели и. задачи исследования. Так, чучело птицы моделирует внешний вид птицы, но не моделирует ее динамического состояния, например полета. Самолет-орнитоптер (летательный -аппарат с машущими, крыльями) не моделирует внешнего вида птицы, зато моделирует ее полет. При моделировании творчества также имитируются лишь отдельные стороны объекта, наиболее интересные (или доступные) для исследователя.
Наличие существенных для объекта признаков в модели определяется по-разному, в зависимости от его вида. В одних случаях эти признаки обнаруживаются непосредственно: например, в модели гармонизации - путем отыскания ошибок, в модели шахматиста (шахматной программе) - по результатам игры с настоящими шахматистами. В других случаях существенные признаки оказываются "скрытыми" и для их отыскания приходится прибегать к специальному эксперименту.
|
|
|
Процесс построения моделей может быть условно разбит на следующие этапы.
1. Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе объекта и целях его исследования эта стадия может содержать также некоторые предположения (невесомый стержень, толстый слой вещества, прямолинейное распространение световых лучей и т.д.). Данный этап можно назвать формулировкой предмодели.
2. Следующий этап – завершение идеализации объекта. Отбрасывают все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для его поведения. По возможности идеализирующие предположения записываются в математической форме, с тем чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю.
3. После выполнения первых двух этапов можно переходить к выбору или формулировке закона (вариационного принципа, аналогии и т.п.), которому подчиняется объект, и его записи в математической форме. При необходимости используются дополнительные сведения об объекте, также записываемые математически. Следует иметь в виду, что даже для простых объектов выбор соответствующего закона отнюдь не тривиальная задача.
4. Завершает формулировку модели её «оснащение». Например необходимо задать сведения о начальном состоянии объекта (скорость лодки и её массу в момент t = 0) или иные её характеристики, без знания которых невозможно определить поведение объекта. И, наконец, формулируется цель исследования модели.
5. Построенная модель изучается всеми доступными исследователю методами, в том числе со взаимной проверкой различных подходов. В отличие от рассматриваемых в п.п. 1, 2 простейших случаев, большинство моделей не поддаются чисто теоретическому анализу, и поэтому необходимо широко использовать вычислительные методы. Это обстоятельство особенно важно при изучении нелинейных объектов, так как их качественное поведение заранее, как правило, неизвестно.
6. В результате исследования модели не только достигается постановленная цель, но и должна быть установлена всеми возможными способами (сравнением с практикой, сопоставлением с другими подходами) её адекватность – соответствие объекту и сформулированным предположениям. Неадекватная модель может дать результат, сколь угодно отличающийся от истинного, и должна быть либо отброшена, либо соответствующим образом модифицирована.
Часть I. «Математические модели в виде
обыкновенных дифференциальных уравнений»
(Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. См.: самарский, михайлов. математическое моделирование.djvu, МатМодМогилевич.pdf)
Задание 1.1. Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с жесткостью k, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится тело массой m. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого сопротивления μ. Смещение тела из положения равновесия равно x 0.
Найти:
а) амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;
б) частоту и период затухающих колебаний системы;
в) уравнение огибающей кривой колебаний;
г) смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t для затухающих колебаний.
Построить графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени.
1.1. k = 94 н/м, m = 0,6 кг, μ = 0,52, x0 = 0,10 м, t 1 = 2,5 с;
1.2. k = 96 н/м, m = 0,7 кг, μ = 0,56, x0 = 0,12 м, t 1 = 2 с;
1.3. k = 98 н/м, m = 0,8 кг, μ = 0,58, x0 = 0,14 м, t 1 = 3 с;
1.4. k = 100 н/м, m = 0,9 кг, μ = 0,6, x0 = 0,10 м, t 1 = 3,5 с;
1.5. k = 102 н/м, m = 1 кг, μ = 0,62, x0 = 0,11 м, t 1 = 4,5 с;
1.6. k = 104 н/м, m = 1,1 кг, μ = 0,64, x0 = 0,13 м, t 1 = 4 с;
1.7. k = 106 н/м, m = 1,2 кг, μ = 0,66, x0 = 0,09 м, t 1= 5 с;
1.8. k = 108 н/м, m = 1,3 кг, μ = 0,68, x0 = 0,15 м, t 1 = 3,5 с;
1.9. k = 110 н/м, m = 1,4 кг, μ = 0,7, x0 = 0,10 м, t 1= 4 с;
1.10. k = 112 н/м, m = 1,6 кг, μ = 0,72, x0 = 0,14 м, t 1= 5 с.
Задание 1.2 Построить математическую модель всплытия подводной лодки. Пусть лодка водоизмещением W движется горизонтально со скоростью υ на глубине H от поверхности моря. Средняя плотность лодки ρ1. В момент t 0 = 0 лодка начинает всплытие. Сопротивлением воды можно пренебречь.
Определить:
1) время t 1, когда лодка всплывет на поверхность моря;
2) расстояние L, которое пройдет лодка в горизонтальном направлении до момента всплытия;
3) вертикальную скорость u лодки;
4) траекторию движения подводной лодки в координатах (l, h);
5) тип соответствующей кривой.
Плотность воды принять равной ρ0 = 10-3 кг/м3. Сделать чертеж.
1. W = 1150 т, υ = 15 км/ч, Н = 300м, ρ 1 = 0,5∙10-3 кг/м3;
2. W = 1280 т, υ = 20 км/ч, Н = 350 м, ρ 1 = 0,6∙10-3 кг/м3;
3. W = 1200 т, υ = 25 км/ч, Н = 250 м, ρ 1 = 0,8∙10-3 кг/м3;
4. W = 1360 т, υ = 18 км/ч, Н = 280 м, ρ 1 = 0,7∙10-3 кг/м3;
5. W = 1420 т, υ = 16 км/ч, Н = 320 м, ρ 1 = 0,65∙10-3 кг/м3;
6. W = 1170 т, υ = 22 км/ч, Н = 260 м, ρ 1 = 0,85∙10-3 кг/м3;
7. W = 1500 т, υ = 17 км/ч, Н = 310 м, ρ 1 = 0,55∙10-3 кг/м3;
8. W = 1800 т, υ = 24 км/ч, Н = 330 м, ρ 1 = 0,75∙10-3 кг/м3;
9. W = 1600 т, υ = 19 км/ч, Н = 340 м, ρ 1 = 0,6∙10-3 кг/м3;
10. W = 1700 т, υ = 25 км/ч, Н = 280 м, ρ 1 = 0,8∙10-3 кг/м3.
|
|
|
